LIVRE SECOND. — APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

il résulte de la démonstration donnée f286) qu'elle a pour limite, lorsque n augmente indéfiniment,

^ Trfç(7r) -t- çf — ir)]:

L’équation (37) n’est donc applicable aux valeurs limites que dans le cas 0(1 l’on a

• 9(ir) =**(-*). .

Il était évident d’ailleurs à priori que dans toute autre hypothèse la série prenant la même valeur aux deux limites j- = — - jr, x = -t -s, 11e peut dans ce cas représenter la fonction. Elle représente, on le voit, la demi-somme des valeurs correspondantes à ces limites.

5V9. On pourrait, dans la démonstration précédente, substituer aux limites — j: et -+- rr deux autres limites « et a -t- an différant de air. La série représenterait la fonction entre ces deux limites, qui seraient alors celles des intégrales qui expriment les coeflicienls. La fonction étant arbitraire, on peut la supposer nulle lorsque la variable varie entre certaines limites et restreindre les intégrations qui servent à exprimer les coefficients aux limites arbitraires a cl b entre lesquelles on veut représenter la fonction, la différence de ces limites étant nécessairement moindre que 27t.- Pour les valeurs de la variable comprises entre b et a -t- arr, la série sera alors constamment égale à. zéro.

Il est évident, enfin, que pour substituer aux limites — n et + ir deux autres

limites — a et -t- a, il suftit déconsidérer'"' comme étant la variable; les termes

de développement seront alors de la forme A, cos et I5„sin ""* > et l'on aura

?(■*■)= - J' -t-^cos ni£.Z.*) r |,

où l'on pourra enfin, aux limites — a et -+- a, substituer deux autres limites quelconques dont la différence soit égale à aa.

550. Lorsque la fonction 9 (<r) est impaire, c’csi-ii-dire quand on a

!S3i DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL,

est égale à zéro. Les coefficients îles cosinus sont donc nuis dans le développement, et la série ne contient que des sinus. On voit de même que le développement d’une fonction paire ne contient que des cosinus.

551. Développement de ^ x. — La série qui entre les limites x=~ tt elx—-+-n représente ' x, ne doit contenir : 550; que des sinus.

i x sin/i-r dx — ( — i )* — t J—Tt »

et par conséquent

- x — siiu sinax + = sin3x — -, sinjx -i- •

Pour x = tx, le second membre se réduit à zéro. Il représente en effet (548; ' (— ir -t- w et l’équation (3i) n’est pas exacte.

En changeant x en n — .r, on a

rr — x -= sinx -4- - sinax -t- ■= sîn3x -t .

et en ajoutant membre à membre

^ z — » ( stnx -i~ j sin3x -t- ^ sin5x -t-> • • j ■

Cette équation suppose x et t: — x compris tous deux entre — ir et -t-rr; x doit donc être compris entre zéro et ir sans atteindre l'une des deux limites.

Pour obtenir directement l'équation (33), il suffit d’appliquer la formule générale de développement à une fonction tf'x, égale à pour x compris entre zéro et -

et à — - pour x compris- entre — ir et zéro.

552. Le développement trouvé (551) est le seul de cette forme qui entre les limites — jt et -t-tr puisse représenter x, mais on en peut former une infinité

d’autres qui représentent celle même fonction dans une partie seulement de l’intervalle.

tin supposant par exemple ç(x; = ' x lorsque x est compris eutre — - et -+-