LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

et y(x') = o lorsque x est compris entre — r et — ^ ou entre “ et r, on trouve

(34 - = ' (sinx — 1 sin3x-t- sinSx — sin^x h ]■

Si l’on lait x = le second membre devient a

Il représente la demi-somme des valeurs ^ et zéro, c’est-à-dire et l’on a

TT* 111

comme on l'a trouvé (I, 414.

Supposons 9 (x) ss ^ lorsque x varie de zéro à «, <p{x) = 2 lorsque a: varie de a

à 7t — a et ç»(jr) = “~-x quand x varie de «— a à r; ajoutons enfin que l’ou suppose la fonction impaire et l'on trouvera aisément

o x . = - | sinx sina -+• - sin3x sin3a -+- -i sin5x siiiSa +

Si l'on fait x = -> ou a

- = - (sina — - sin3a -+- -= sin5« -I — •)>

2 fi \ g 25 J

ce qui s’accorde avec la formule (3/j .

553. Pour représenter la fonction ^ x par une série qui ne contienne que des cosinus, il suffit de supposer y(*) = ^ .r lorsque x varie de zéro il r et ç(xj = — 1 lorsqu’il varie de — r il zéro. On a alors

et tous les sinus disparaissent du développement. On trouve alors

,,, x r 2/ cos3x cos5x cos(2n-»-i x \

(35) cosx -4- ! H 1 J 1 )•

334 DECXtfcME PARTIE. - CALCUL INTEGRAL.

Si l’on fait x = o, on retrouve

TT = I 'h r -y

55 i. Développement de si n Mtr et de cosmx. — On trouve aiscuient, n étant entier et m quelconque,

/** . . , minlmt: -n**1

I si noix siu iix dx ~ -,

n1 — ni'

si noix cos «x - o.

On en conclut (36) s

I si

•> . / sinx asinvix 3sin3x \

: — - sinmr — , — — - -t ) ■

r. \ i — m1 4 — ni’ 9 — ni’ ]

On trouvera de même

„ i l i m cosx nieosix ni cos 3 x \

(37) cosnix = - sinnir | - ■+• , — ,-- - . -t- . — ...).

1 " r. \i.m i — ni' 4 — m o — ni* /

Dans cette dernière équation on peut supposer x = -, car la fonction a la même valeur aux deux limites x = — n, x = ît, et l’on a par conséquent

cot ni

i / i m m ni \

" r Vani i m' 4 -m’ «i — ni'

555. Développement de e** -t- c”. — Dette fonction étant paire, son développement ne conticut que des cosinus. On a

. 2 SC COS n 77

-+- e~ml COSHX dx ~ , *?** — e~*' ,

et

7 m ( ' X COSX «C0S2X \

Z 1 -r a 4 -ha* /

On trouverait de même

. sinx -isinix 3sin3x > ' i -t- oc 4 + *' 9 ■+■ a'

556. Développement de cosx. — Considérons une fonction égale à cosx lorsque x est compris entre zéro et a et à — cosx lorsqu’il est compris entre — ~ et zéro. Cette fonction étant impaire, le développement ne contiendra que des sinus. Si un

LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS, la désigne par 9 (x), on aura

XK

J" <f'x{ sinnx i/x — ij eosxsin nxdx.

Cette intégrale est nulle si n est impair, et égale à a” j si n est pair; on en conclut

(40 eosx = ^ sinax ■+■ 3^5 sin4x 4- g— sinGx +

557. La formule (.27) (546 contient implicitement le développement de toutes les fonctions eu séries ordonnées suivant les sinus et cosinus des multiples de la variable. Dans certains cas cependant il est plus aisé de trouver directement le développement qui fait connaître alors la valeur des intégrales qui représentent les cocftioicnts.

Développement de /sinx. — On a identiquement

cosx = cosx — cos3x 4- cosîx — cos5x 4- cos5x — C0S7X 4- ros7x — . . c’est-à-dire, en réunissant les termes deux à deux.

cosx — asinx sinax 4- si«4x 4- . . . 4- sinanx 4- e'osfan 4- i)x, et par conséquent

cosx , , cos’in4-i x

= a sin?x 4- * sinix 4- • • • 4- a smjnx 4 — •

sinx smx

Multiplions les deux membres par dv et intégrons depuis la limite x jusqu’à la limite - • nous aurons

— / sinx = ; t 4- cosax) 4-