eosa n n

(- \ + cos4x) 4- (5 4- î cos3x)

ros a « -f- 1 x

on a

Si dans cette équation on fait croître n indéfiniment, en remarquant que

‘ 1 cos ii n -4- i)x

, . , cos4x cos6x

/sinx = — /a — eos ix — — —

• — Iim.

dx,

roe

l'intégrale

COS î» -+- I X

tir

a pour limite zéro. On peut la partager en effet en intégrales partielles prises entre des limites telles que les éléments soient alternativement positifs et négatifs, et la différence de deux éléments consécutifs est infiniment petite par rapport h la somme de leurs valeurs absolues. Or la somme de toutes les valeurs absolues est finie, car elle est moindre que

dx sin x

.L'intégrale (4a) a donc pour limite zéro, et l’on a enfin

(43) fsinx /a — eosax — jj cos4x— ^ cos6x — ■ • •

Cette formule se trouve démontrée ainsi pour les valeurs de x comprises entre .zéro et -i mais elle est évidemment exacte lorsque x varie de ~ à ît, car le second

membre ne change pas non plus que le premier quand on y change x en n — x.

La comparaison de l'équation (43) avec le théorème (545) donne aisément

Jl Sinxdxrr — - fa,

I cosanx /sinx dx — — ■

Jo 4»

558. Développement de — M. Kummer a très-élégamment associé la mé-

thode des coefficients indéterminés avec l'emploi des formules générales pour développer fr'x) en série ordonnée suivant les sinus et cosinus des multiples de airx. Posons

(46) /T(x) = A, -+- aA.cosacx-i- 3.A,cos4t:x -+- . . .

•+• iB, sin itjr -4- a B, sin 4rrx + . . . ,

la formule s'appliquant f 549 ) aux valeurs de x comprises entre zéro et l'unité. On a (295)

(4;) /T(x)-i-/r(i — x) = /r(x)r(i — x) = /a!t — /(asimrx).