I smanrar-i smi/irx

qui s’applique lorsque x est compris entre zéro et 1 • afin que a*, x-t- 1 «.

x-b- ----- soient tous compris entre zéro et l’unité.

Si de l’équation f 5c» on retranche IT(nx) développé au moyen de la série ' '19,. on a

/r(x) + fr|i+ij + — ^/r^x 4- " ^-j — irinx) tn i

= -(ii-i)/îïï4 ( sina/irx 4- - sininirjr -+- • • a r > 2

c’est-à-dire { 551

/ ■ — — - — - ( /i — t) tir. H — (1 —

T{nx)

- ( 1 — an x) /n,

îtKI

et

DF.DXlfiME PARTIE. CAUX1. INTEGRAL.

IHT

Digression sur tes fonctions nommées Y„.

560. La fonction qui représente l’unité divisée par la distanee de deux points joue un grand rôle dans un grand nombre de problèmes de Mécanique. Kilo contient évidemment les coordonnées de ces points et peut s'exprimer par exemple au moyen de leurs coordonnées polaires p. 9, «J», p’. 5'. «j»'. La distance r de deux points ainsi définis est donnée par la formule

r’ -- o’ •+■ p'* — app' ros V.

Y étant l’angle des deux rayons vecteurs. On a d’ailleurs

rnsY cos 9 cos 9’ •+■ sin9 sin9' cos( 'i — )•

et par conséquent

' I p’’ — *pp' cos 0 cos 0' + sin 9 sin 9' cos ni — «j»' ] -t- p’ ; 1

Prenons pour unité la plus grande p' des distances p et p', on aura

!t — ap 'cos9 cos9’ -t- sin9 sin 9' eos -i — -y ï] 4- p’! 1

Cette expression peut se développer au moyen de la série étudiée fl, 354). et l’on aura

P„ étant ce que devient X„ quand on y fait

x = cos 5 cos 5' -+- sin 9 sin 9' cos $ — 'J/r.

561. Le coefficient P„ est une fonction entière et de degré n de cosS, cos9", sin9. sinî' et cos'-)/ — •■}■' . Considéré comme fonction de 5 et «le ÿ seulement, il satisfait à -une équation différentielle que nous allons former.

En nommant .r. y, x', y'. z‘ les conrdonnt'es rectilignes des deux points cou-

l.IVRK SECOND. - APPLICATIONS KT DÉVELOPPEMENTS.

sidérés, on n

On on déduit, aisément

et en posant

p-t-tr— r* »’ + (* — *' ’

d' - il' d' r r r

dx' ~t dr‘ ^ dz'

x — a sin 9 ros^, * > — j» sin 9 sin <|i.

i a ros 9,

Ml

cette équation dpvient 'I, (82;

-, \ AT. + <’olî — 7 J fi’ \ d 0 a 9 /

<5a> p \WF col°

! 7 ai “H ,

p'Mirv dp* p <to

En multipliant cette équation par p* et remplaçant ' parson développement ffit .

l’équation obtenue ayant lieu quel que soit p exigera (|ue le coefficient de chaque puissance de p soit nul. On aura ainsi

rf'P.

rf9-