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rfP„
sin'9 rfiji'
que l'on peut transformer, en posant cos5 = ;x, en .T , rfP.I rf’P.
T'-" rf.ol 7*- „
du
La fonction P«, qui satisfait à cette équation, est parfaitement définie et ne conserve rien d'arbitraire, mais elle n’en est pas la seule solution qui soit une fonction rationnelle et entière de degré n de cos0, sin5 cosiji et sin§ siniji. La solution la plus générale de cette forme, et dont P„ n’est qu'un cas très-particulier, a été nommée par Laplacc la fonction Y,.
Commençons par prouver qu’une telle fonction existe en en donnant la forme générale.
Si l'on pose en effet
l." = x xy -4- JJî ",
en supposant
on aura évidemment
d' U rfH I d' U
dx* + dy< ~ ~d:‘ ~ o;
et si l’on pose
ar = pcosfl, y — psînS cos|, s r= pslnfl sin^.
la fonction transformée sera le produit s" par une solution de l'équation '53), et la somme de an -+- i lermes pareils multipliés par des constantes réelles ou imaginaires satisfera à la même équation et pourra être prise pour expression générale de Y„.
502. Les fonctions Y„ jouissent de deux propriétés importantes dont se déduit la possibilité d’un développement en série souvent employé par les géomètres et qui doit trouver place dans ce chapitre.
Y„ d’après sa définition, est une fonction homogène et de degré n des trois quantités cos5, sin5 cos-ji, sii>5 sin^et le produit (" Y. satisfera il l’équation (52),
dont le premier membre en effet, quand on y substitue ce produit à -» devient le
produit de p"~’ par le premier membre de l'équation qui définit Y,.' Si donc on pose
V = peY.,
la fonction Y, exprimée en .c, y, z, satisfera à l'équation
<lx‘ + dy ! "+" dz’ ~ °‘
Appliquons le théorème de Green (503) à cette fonction Y et à la fonction '•
qui représente l’inverse de la distance du point dont les coordonnées sont ar, y , z, à un point A situé dans l'intérieur d'une sphère de rayon K, nous aurons
dx' dy T dz 1
et. en avant egard aux équations (55) et (56 .
L’intégrale qui figure au premier membre étant prise pour tous les éléments de de la surface de la sphère de rayon K et Y, désignant la valeur de la fonction Y au
