LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. Î

point A, on a, d’après la valeur de V,

On a donc (58)

Mais, en développant j en série, la formule (Si, dofme, en désignant par a la distance du point A au centre.

D’ailleurs /h est la dérivée de ( lorsque 0 cl t| >, qui figurent seuls dans P„, restent constants, et l'on a pour les points de la surface sphérique

r P. a<iP,

dn R> R7 S^> '

L'équation (58j devient donc, en remplaçant V par sa valeur »" Y„ et de par Ra sin5 dO dÿ,

4ir«‘V’ = R* / J Y„ RJ slnOd®di|( ^ j

- R" / | I ' > 11 2j ~R- +2j R" IsinO </8 i/ij;,

et, en égalant les coefficients des mêmes puissances de a dans les deux membres,

(59) 4*Yi = (»« -t- 1) IJ Y, P, sinü</9</i}>,

Y’ étant ce que devient la fonction Y„ quand on y remplace 6 et <4 par les coordonnées 0' et t|»' du point A qui figurent avec Oc 16 dans l’expression de P., et les intégrations s’étendent h toute la surface de la sphère, c’est-à-dire aux valeurs de 5 comprises entre o et r et à celles de entre o et an.

Slt

Développement d'une Jonction de deux variables.

563. Toute fonction <le deux variables 0 et <j< peut être représentée par une série de la forme

Y„ désignant une fonction hoyiogëne de cos 5, eos5 cosiji cl sinO simji, qui satisfait à la condition énoncée plus baul.

La série est toujours convergente et le développement s’applique aux valeurs de 5 et de i{i représentant toutes les directions.

Ou a donné de ce théorème un grand nombre de démonstrations; la suivante, due à M. Darboux. nous parait de beaucoup la plus simple. Commençons, comme nous l’avons fait ( 5-i5 . par admettre la possibilité du développement, et aptes avoir cherché l’expression du terme général Y„, nous prouverons que la somme de la série représente bien f (0, .

Multiplions les deux membres de 6i par P„ sin5 d'j dty el intégrons entre les limites zéro et n pour 5, zéro el sr. pour P„ désignant ce que deviènl la fonction X„ quand on y remplace x par

eosS rosi' -t- si n 6 sin 6' cos( <[> — },

nous aurons, d’après les équations (Sg el Goj,

et celle formule fait connaitre Y’ , c’est-à-dire ce que devient Y„ quand on y remplace 6 par 5' el t}< par i|/; on aura par conséquent Y„ en changeant dans le premier résultat 5 et en 5' et et réciproquement. La série Gi devient ainsi

1 ~W Jo

sinO’ i/5' Ç

P.o 9*. it'jdif'.

Nous allons déterminer la somme des n premiers termes cl montrer que. n croissant indéfiniment, la limite de celte somme est eu elfèl f 5, | .

Les variables 0 et ^ peuvent être considérées comme des coordonnées polaires déterminant la position d’un point sur une sphère de rayon unité, 0 désignant la distance à un pôle lixc et <ji l’angle formé par le rayon vecteur 0 avec un arc de cercle fixe passant par le pôle et pris pour origine.