LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

Changeons de coordonnées et prenons pour pôle le point de la sphère dont les coordonnées sont 9 et <j/. Soieni 9, et tj., les coordonnées nouvelles qui remplacent 9 et 4-- On a évidemment

cosS cosé' -+- sin 9 sin 0' cos( 'J. — A' ) - rosé,.

De plus, l'élément de surface sphérique sin V dV dÿ sera remplacé par sin9,<f9, dty,, et l’on aura

(63) rr PM sinO' b{Q\ <]/ ) dV dty LT P.(cos9,)v(9„ -iiî sin 9, i/S.f/ij'.,

P„(cos9, } étant ce que devient X„ quand on y remplace x par cos9,. En effectuant . l'intégration par rapport à et posant

Ç 9(9,, •{'.Jdij., = •xr. F(cos4,),

en sorte que F l' cos 9 , ) puisse être considéré comme la valeur moyenne de ?f9,, i}>,) sur le cercle situé à la distance 9, du pôle, l’expression (t>3; devient

cos 9,) F (cos 6, } sin 9, <I0„

et, en posant eos9, = .r.

X, F ( x ) tlx .

La série (>a( est par conséquent réduite à

Lj ' F(x)f/x[ X.-t- 3X,-t-. .. -t- (•*»-*- i) X„|.

c’est-à-dire fl, 358

~Sx

dx

et c’est celte expression dont il faut chercher la limite lorsque n croit indéfiniment. On a, en intégrant par parties,

fn x)Jx ('-g” + d ) - i F( 'M X- + > - ; f F'(at) dx(X.+ X„, }.

Aux deux limites x = — i et x = + 1 , X„ et X*„, deviennent respectivement (— i)" (-t- i}* et (— i}"+l (+- 1 j"-+* , le terme intégré