C-*’)*- dx

,, dX. v

dx

J dx^°’

c’est-à-dire

dx

dx

dx

~xT

dx ~~ "• Xj(i — *)■’

v~c~cfï!ir-x)-

DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL, et la solution de l'équation (66) étant VX„. la seule solution entière et rationnelle en x est évidemment G'X„, en sorte que le développement (65; devient, en posant cos û = x,

dont la possibilité se trouve ainsi démontrée.

Pour calculer le coefficient A„. multiplions les deux membres de 67 ; par X„t/x et intégrons entre les limites x = — 1 , .r = -+- 1 .

Nous avons i'529j

(68) j X,X„tlx o.

On déduit d’ailleurs aisément de la formule (60;, en y supposant Y* = P„. 5'=o, <j/ = o,

(6r)) ( X4 dx — — -1— i

et par conséquent

A » — j X.o(x) dx.

565. Le développement qui nous occupe jouit d’une propriété remarquable. Dans la série qui représente ç 'x . un nombre quelconque n de termes, pris à partir du premier, forme un polynôme Z qui, parmi tous ceux de même degré, donne à l'intégrale

une valeur ininiuia.

Pour le démontrer, cherchons directement à déterminer Z par la condition de rendre l'intégrale 70] ininiuia. Il faut que la dérivée de U par rapport à chacune des constantes qui entrent dans Z soit égale à zéro, ou, ce qui revient au même, en nommant dZ la différentielle de Z prise par rapport à ces seules constantes, on doit avoir

171; J ZjoZe/x — o.

Or, quelle que soit la fonctiou Z, ou peut la mettre sous In forme

Z t,+ VX,+ .. + J,\..