LIVRE SECOND. — APPLICATIONS ET DEVELOPPEMENTS. SRI

G étant indépendant dey'**-1'. Soit

l'intégrale effectuée j' Qcfy " '\ on devra avoir

En supprimant les termes Q y[* et ytH> qui se détruisent, on déduit de là

et cette équation ramène la détermination de G à l'intégration d’une fonction différentielle d’ordre n — t seulement. Cette fonction doit évidemment ètrr du premier degré en j1"-11; si cette condition n'cst pas remplie, le problème est impossible, et il est inutile de continuer les opérations; si elle l’est, on opère pour

l'expression de comme on l’a fait pour la fonction F, en ramenant le problème à l'intégration d'une fonction différentielle d’ordre n — a, et ainsi de suite.

577. Considérons, par exemple, l'expression (49) y -h i x -j- iy)y' + y’’ + *y' xy" ;

on a d'abord

J îy'xdy' = xy”-h ü,

G ne devant contenir que x et y, et l'équation '48; devient dans ce cas

(,7~) =/+(* + vi/+r'-r',=f+ii + *y)y'-

Cette expression étant de premier degré en y', il y a lieu de chercher si elle est intégrable; pour cela, intégrons <x + a y, par rapport à y, nous aurons

G = x -t- a y) dy — xy -t- y* -t- G, ;

G, étant fonction de x seulement, égalant à d G la différentielle du second membre, on trouve

d Gi = o,

et l'intégrale de (49) est par conséquent

b?'1 4- xy H- y\

I • Cale. int. 7 *

Soit encore

vir.r.y.r’i- r“

Le coefficient tle y“ est ici ” x , > et son intégrale par rapport k y'

C’est k cette expression <|u’il faut ajouter, pour résoudre le problème s’il est* possible, une fonction G de x et de v; mais, en posant

Ll±/2T r-Jx = + de.

rr’+* v^+r"

on trouve d G = o, et l’intégrale cherchée est