SB

nous aurons

dy

dr '

il.i d) '

r/> d F r/x1 dy"

,d Q dy'

... rfQN

rfj \ Âp

tl’Q

dxdy‘

</rrfP+-V

dy '

r/v'rfr

dy }

jflQ. ...

. rf’Q V.X-

dydx ^

dydy"

+ rfr^ +

et, comme les fonctions P et Q ne contiennent ni y", ni y", on devra égaler à zéro le coefficient de y", qui se trouve identiquement nul . celui de y "a, celui de y" et le terme indépendant de y".

579. Joachimstahl a fait une étude détaillée et intéressante de cette décomposition de l'équation (5t) dans le cas le plus général.

Il fait voir d'abord que la fonction considérée F étant, comme il est évidemment nécessaire, de la forme

F = P -t- Qrf’>,

le premier membre de l’équation / 5 1 ) ne contient pas la dérivée d’ordre an — i,

yl*»-').

Que l’on pose, en effet.

on aura évidemment

. r/F d d F ./■ dit

dy t*-'1 d.r dy l'~‘> dx' i /y.t"ï

dy” “ r/x dr’"1' * dx’ dy <*-•> dx' dy'"1 ’

r/r r/x r/r' r/x1 r/, 1 ' dx" dy1" ’

sr.4 DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

el /„ = « est par conséquent In condition d’intégrabilité (5i). Or on a. d'après

l'équation (53).

rfP ,IQ , .

-O dyl‘~' > '

' dy''~

dx

di) , dQ

dy dy

dQ yW

r- '19 r. . . . !Q r(.-„ rf9

f/.ï‘ dy ■ dy J dy l*-’> • dy<‘~'> ’

y'"’ ne ligure donc pas dans et par suite ne figure pas dans /,, ni j1*4-11 dans /, ni^'(,"",i dans /„.

On voit d’ailleurs aisément que /3, /, I„ sont respectivement de la forme

suivante :

/,= a’+ b"yf> + b\ y •+• é' y!**-” + ...+ Al,y O*-*) 4-

/,, = rf -4- A’yi*i 4. i', re+o + . . . +. A'„,y<— •> + j-i*— » -t-

/. = o- 1- Ar*1 b, y 4- A. r^’' -+- • . -t- >: 4. 4- /,

où les coefficients désignés par les lettres a et 6 contiennent y et ses n — 1 premières dérivées, cl les termes t, l\ les produits ou les puissances des déri vées d'ordre supérieur à n — 1.

l>e l'équation

, rf[P + Qr<->] (dl.-,\

' dy \ dx )'

qui définit on déduit 1

, db\

db'. ,

db .

db'

~ ~dx

-dfr-

dy

- oyîiür''

dh\ ‘ dx

db\

db'

~ dÿ r —

dj (•— »> '

db'. -,

db ,