Considérons la fonction u définit*, par l'équation

équivalente évidemment à

u — arc sin*, x= sinw.

En adoptant l'équation (i) comme définition de sinu, on peut en déduire aisément la propriété fondamentale qui exprime le sinus de la somme des deux arcs.

Pour exprimer, en effet, que la somme de deux ares dont les sinus sont x et y est constante, il faut écrire

■ dx dr

yi— — y’

on eu déduit

(3) dx^i — y' -t- dy y'i — x' — o, et, en intégrant par parties,

(4) x y 1 — y' -t- | — ' - | - ‘ -r- dx = consi.,

c'est-à-dire, én ayant égard à l’équation (3),

xv',~.r!-t-rv'i — ■*’ = const.

Si donc on nomme « et v les arcs dont x et v sont les sinus et a leur somme supposée constante, l’équation

équivaut à

(6) x y i — y* -t-y/T— x' = const.,

c’est-à-dire à

(■]) sin«/i — siiiV-L sine y i — sin’» = const.

Mais en faisant v — o, l’équation (5) donne’»=«, et cette double hypothèse introduite dans l’équation (jj montre que la constante qui forme le second membre est égale à sin», c’est-à-dire à sin(u -+- v . et l’on a entin

stn (u -t- c) — sin» y i — sin’e ■+• sine y i — sin*«.

Étude de l’équation

dx

dr

581. On peut pressentir, d’après ce qui précède, l'importance attachée par les géomètres à l'intégration de l'équation

dx <h

di ' — x*H' — ) y'{ « — /* ) ( « — Vÿ*)

qui conduit à la formule fondamentale de la théorie des fonctions elliptiques, de la même manière absolument que l’intégration de l’équation ( a peut conduire à la formule fondamentale de la trigonométrie.

Fagnano a remarqué que de la relation

on déduit

et l’on a ainsi une solution de l’équation

dx dy

<Ji — x' y'i — y