LIVRE TROISIÈME - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. WHI

Euler fut naturellement conduit à se demander s’il en existe d'autres: la solution évidente a- = — y se présente tout d’abord; mais la plus générale doit contenir une constante arbitraire, si l’on pose en effet

Jo V'--^

L’équation (9; exprime que la somme F.fx) 4- F (y) est égale à une constante indéterminée qui doit figurer évidemment dans l'équation équivalente qui lie x à y. Après quelques tâtonnements et en essayant de généraliser les solutions connues, Euler a obtenu la relation suivante

ar’-l-y’-«- c!-r’ y*= r* — axv 1 — c*.

qui entraine, quelle que soit la constante c, la relation (9). La vérification est facile et n’offrirait aujourd'hui aucun intérêt.

Euler, par uqg devination plus remarquable encore, a trouvé la relation algébrique équivalente à l'équation plus générale

-t- nx'+ px' \ ni -+■ ny'- h py'

à laquelle on peut ramener, par les transformations indiquées (67), la relation plus composée

, j dx ^ dy __o

/À + Br + Cr'+ 0^"+ Ei1 i/Â-t-By + Cy’-+- Dy’-t- Ey‘

Un grand nombre de méthodes ont été proposées depuis pour atteindre le mémo but, et l'importance du sujet nous engage à indiquer quelques-unes des plus importantes.

Méthode de Lagrange.