LIVRE TROISIÈME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. STI

Substituant à -jf’ sa valeur y X — y Y, et k p et q x -+- y et x — y, on a enfin

( 18) yX — y y = (x — r) V “ ■+■ D(J -+- vj -+• E( a- + * )’,

qui est l’intégrale cherchée.

Méthode de M. Darboux.

583. Parmi les nombreuses méthodes proposées pour intégrer l’équation d’Euler, équivalente au fond a celle de l.agrange, l'une des plus élégantes est celle de M. Darboux.

Considérons l'équation

Posons

(ao)

et par conséquent

(ii)

dx dy

dx

dt

En élevant chacune de ces équations au carré et prenant la dérivée par rapport à t, un trouvera, comme dans la méthode de Lagrange,

t — — ( i -t- k’)x + li'z1,

r -dfi - x - a k'xy{x>-y' J.

et, par la combinaison de ces équations, (*3)

Mais les équations (ao; et (ai) donnent

(i4) r'^di) ~ T’{%)

et, en combinant les équations (a3) et fa4). on »

d'x d‘y . ! dx dy\

■rJy-xdr ^ + x d,)

dx dy i — k'x'y'

r dî~x Si

Les intégrales des deux membres s’aperçoivent immédiatement, et l’on trouve en les égalant

l(rvt-x<i£)=,ci,-k'x'r')-

C désignant une constante arbitraire. L’équation fatîj peut s’écrire

dx

dy

,U dl -r t — k’.i’y’ ’

ou, en remplaçant et par leurs valeurs.

jrV( 1 +x$t — -y’) fi — *•' j'*)

relation algébrique entre x et y équivalente à l'équation (19).

Représentation géométrique de l' intégrale.