LIVRE TROISIÈME. - THÉORIE HES FONCTIONS ELLIPTIQUES. STR

première hypothèse et supposons les angles 9 et ^ aigus; pour intégrer 1 équation

V 1 — h1 sln‘9

Vi — k' sin’^

c’est-à-dire pour obtenir sous forme finie la relation équivalente cnlrc 9 et 1}/, considérons un triangle sphérique CAB dont les côtés CA et Cil représentent les angles 9 et supposés l’un et l’autre moindres qu’un quadrant. Nommons [x le troisième côté AB; si ce côté reste constant, ainsi que l'angle opposé C, et si l’on a en outre

sin’C si 11 ’ jn

les arcs 9 et <Ji, dont l’un reste indéterminé, seront liés, nous allons le prouver, par l'équation fai) . Çoinmençons par chercher quelles conditions sont imposées, par nos hypothèses, aux angles du triangle ABC; nous reconnaîtrons aisément que l'un de ces angles doit être obtus et les deux autres aigus.

Supposons en effet que l'angle C soit aigu, soit PQ l’arc de grand cercle décrit du point C comme pôle entre les côtés de l'angle C; on a, comme on sait, PQ = C,

. et par conséquent é’ étant moindre que l’unité, smp doit être plus grand que sinPQ. Donnons-nous la position du sommet A et menons deux ares de grand cercle AG et AH, le premier perpendiculaire à CQ, le second à CP; tous deux évidemment seront moindres que PQ, qui mesure la plus grande distance des arcs (IP et CQ; on devra donc, pour que AB soit plus grand que PQ, s’interdire de placer le sommet B entre les points G et H. S'il est entre C et G, l’angle A sera aigu et l'angle B obtus, et s'il est entre H et G, l'angle A, au contraire, sera obtus et l'angle B aigu. Le triangle aura donc, dans les deux cas, un angle obtus et deux angles aigus.

Supposons, en second lieu, que l’angle C soit obtus, et soit encore PQ l’arc de grand cercle décrit du sommet C pour pôle entre les côtés de l’angle C. Quelle que sojt sur CP la position du sommet A, les arcs qui le joindront aux divers points

île CQ formeront avec AC îles angles aigus, car le grand cercle perpendiculaire va

rencontrer l’Q en un point I tel, que PI soil égal à un quadrant, et compris par

conséquent entre P et Q. L’angle A est donc nécessairement aigu; il en est de même de l'angle B, et le triangle a encore un angle obtus et deux angles aigus.

Cela posé, supposons que l’angle obtus soit C, et soient A'B’ et AB deux posi-

tions infiniment voisines du côté a. La condition A'B' = AB donne fl, 554

AA' cos V — BB' cos B;

mais

AA' = </9, BB'^=— itty,

cos A — ifî— sin’Â a|/i — /•’ sin’îji, cos B — v i — siu'B = y i — b‘ sin’ç.

par conséquent

c’est-à-dire

d<f y i — A* sin’ij/ 1- </>|i y i — AJ sin'tp = o.

ày + «*<!>

y'i — Â'sin'v yfi — Pstn,<{/

C’est précisément l’équation 29 .

O11 en conclut

= const.

Ja y'i-Psin’o y 1 — A’ sin’i La constante est évidemment ce que devient l’une des deux intégrales lorsque

U VUE TROISIÈME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES, l'autre est égale à zéro. Mais pour ? = o, on a ^ par conséquent

A'sin’

— h' Sill’?

les trois limites ?, (J>. f* étant liées par l’équation

cos fi — : cos? cos | 4- sin? sinj/ cosC,

et comme l’angle C est obtus, on a

cosC = — y i — sin’C = — ^ i — h' sin’it,

et par conséquent

(3a) cosu — cos? cos'{> — sin? sin']1 qi — siu’u,

et celle relation entre », ij» et ft équivaut à l’équation il).

Autre interprétation géométrique.

585. Jacobi a substitué au triangle sphérique proposé par Lagrange une construction non moins simple qui n’est pas sujette aux mêmes restrictions

Considérons' deux cercles dont les centres sont C et CM et dont le premier, de

rayon R, contient l’autre dont le rayon est r. Soient AA' le diamètre commun et PP, une corde du cercle C tangente au cercle C, ; posons

57<i DEUXIÈME PARTIE. •- CALCUL INTÉGRAL.

Si la corde PP, se déplace, en restant toujours tangente au cercle G,, on aura, en désignant par k une constante dont la valeur dépend des éléments de la ligure.

d rj d

VT — A‘sin'9 — ï'sin’^

Soit en effet P'P', une tangente infiniment voisine de PP,, on a évidemment

PP’ drJ

Mais en nommant I le point d’intersection des droites PP,, P'P',, on a, en considérant P, P', et PP" comine de petites lignes droites,

P,P\ PJ PP' “ IP' ’

et, comme le point I se confond à la limite avec le point de contact M de la tangente PP,,

rf'} MP, d<f ~ MP ’

mais on a

MP, = ^6?îi-c*,

MP =\Zc7p’ — r>.

D'ailleurs, eu désignant la distance CC, par a.

C, P, -R' + zr + jutt cosa'J/— (K + ci)1 — 4a R sin'ip, C, P : R’h- a’-P 20 R cosaç — = ( R -t- o j5 — 4*R sin’9.

et par conséquent

et en posant

Si l’on pose ,34

d ï y(R +o)’— r’— 4«Rsin,f

f/Cr

<tjt

tfi-l’â»1? y i — A'sin’t!»

' Jo V'I — /-*sin>9

Je V — i’sin>4-