LIVRE TROISIÈME — THEORIE DES FONCTIONS El J. IPI H.HJHS

la différence des deux intégrales u et v sera constante, i|iielle que soit la tangente PP,. Cettfc différence constante est évidemment la valeur que prend la seconde lorsque la première est égale à zéro, c’est-à-dire, en nommant aa l’angle correspondant à l'arc AT détaché sur le grand cercle par la tangente au petit cercle issue du point A, à *

J„ — sin’ç

Si du point P, on mène au cercle C une seconde tangente P, P,, puis de P, une troisième tangente P3P3, et ainsi de suite, eu nommant a^2,... les angles

correspondants aux arcs AP,, AP3 il résulte du théorème précédent que les

intégrales

Ç* i/o r* </y i *< rfç

Ja V*.— sin'? — J*sin’9 J0 V I — /•* sin-

formant une progression arithmétique dont la raison est

X v' — é’sin’9.

Pour que le polygone PP, P, P,... se ferme, et que le ’ n + i ,limr sommet coïncide avec le premier, il faut et il suffit que l'angle 2’}„ soit égal à 29 augmenté d’un multiple de air, et que l'on ait par ronséquent

35 1 - /vrfv — r-4— .

Ju v' — *’-*l",9> Jo v 1 — é’sin’ç J„ v' — /’sin’o

c'est-à-dire

n+m’ j 9 =nr j<t

Jr 1 — /l'sin’o J0 v ' — ' sio'q

Le premier membre, à cause de la périodicité du sinus, est évidemment indépendant de ç. Si donc l'équation (36) est satisfaite pour une position du point P, elle le sera pour toutes les autres, et nous avons la démonstration d’un beau théorème dû à Poncelet :

Si deux cercles sont tels t/tt'il existe un polygone île n côtes inscrit dans l'un et circonscrit à l'autiv, il en existe toujours une vifinitc.