I. Cale. Oit

STB

Théorème d' Abel.

586. Le beau théorème d’Euler, généralisation d’un résultat obtenu par Fa- • gnano, n'est lui-même qu’un cas particulier d’un autre théorème dû à Abel et dont nous ferons connaître ici un cas fort étendu, susceptible cependant encore do nombreuses cl importantes généralisations.

Posons, pour abréger,

Ax = y'm -+- nx’-t- px‘.

Nommons f x) et f'.Xj deux fonctions entières de x, l’une paire et l’autre impaire, dont les coefficients soient supposés variables.

Si l’on décompose la fonction

/(x}’-?(x)>(Ax)-

en facteurs de la forme x1— x;, en posant

/(*)’— ?(x)’(Ax)’ = A'x’ — xî)(x’ — xj)...{x’ — x„)\ où A est indépendant de x, et posant

on aura

C étant une constante indépendante des coefficients des deux fonctions ç x et /(*;•

En désignant par'x l’une quelconque des racines x„ Xj x,,, on a en elTet

(38) fx)'— ^(x)’( Ax)’ — o,

et par conséquent

(3p) , /(x)-t-ç(x)Ax=r O,

où le radical Ax doit recevoir un signe déterminé par ceux de / xi et de •p 'x . Posons

'M*) =/{*)’— o(x)s( Ax)>.

x désignant l’une quelconque des racines x,, x,,...,- x,,. En nommant J.r le changement infiniment petit que subit la racine x lorsque les coefficients de f 'x et