LIVRE TROISIÈME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

ceux de fisc) varient infiniment peu, et ij/fx) étant la dérivée de ty'x) par rapport à x seul, on aura

• (4°) (}/{x)ôx •+• if[x)Sf{x) — *<f(x)i<?(x)(\x)' = a. ■

Il est clair en effet que devant conserver la valeur zéro, sa variation est nulle; or elle se compose de la différentielle if’ x â.r correspondant au seul accroissement de x, les coefficients restant les mêmes, et de la variation due au changement des coefficients qui forme les deux derniers termes de 1 4o).

L'équation (3r)) donne

/(•*)= — o(x)Ax;

par conséquent

?(jr)(iï)'=-/ x) Ax,

et l'équation f 4° J devient

^|’(X Sx = aAi[?(*)i/(») — /(x)âç(*)].

On en conclut

ox al?(x)ô/(x) — f{x)i<f{x)]

Ax — ' +‘(x)

Attribuons successivement il x les valeurs x„ x,,..., .r,, et ajoutons les équations qui correspondent à ces diverses hypothèses. En posant

? x)if(x)— /(x)«9(x) = 6(x),

nous aurons

Sx, Sx, ixji . f 6(x, ) 9(x,) 9(x,) ]

Ax, Ax, Ai, U'(x.) ^(x.) •}'(x,)J

MaisS xj étant une fonction entière de x de degré inférieur à celui de ^'(x), le second membre, en vertu d’un théorème très-connu d'algèbre est égal à zéro, et l'on a

Sx, Sx, Sx,

Ax, Ax, "1" + Ai,

Si les coefficients de f\x) et de <p[x) variant d’une manière continue, les racines x,, x,,.,., x^ deviennent x\ x.f , on aura, en intégrant l'équation (4a),

dx, " i ’ jl* dx, r* i* dx.

Âï Âxi H h J,,. Ai,-°’

et, par conséquent, si l’on pose

f'ilx

(44)- F{x.) 4- F(x,)4-. • .+ F ar») = F(jr',')-t-F{x,,)+...-t-F(x|,),

et la somme F x,) + Ff.r,) +... +• Ff.r,, conserve constamment la même valeur.

.r>87. Le théorème précédent, à cause du choix arbitraire des polynômes f[x et ç (x), comprend un grand nombre de résultats particuliers. Un peut se donner arbitrairement les racines .r,, x et déterminer xf en fonction algébrique

de ces quantités arbitraires, de telle sorte que les deux membres de l’équation f '\!\ soient égaux à zéro.

Posons en effet

f x = tin 4- «. x' a, x' -+• . . . a, , x’""‘ ■+■ x'", 9 x xxx i, -t- 6, x1 -e 6, x‘ -4-. . . 6, X1”"* î.

on peut sc donner arbitrairement les racines .r,, .r, x.„, et en déduire

a U»-,. ô„, é,,..., ô„-2, à l’aide des équations

/lx,)4-9(x,)Ax, = o, /(*,) + 9(x, Ar, = o,

+ 9 x,,.,1 Ar,.., = o.

où les radicaux Ai,, A.r Ax* seront pris avec les signes que l’on voudra

choisir. Ces équations du premier degré par rapport aux inconnues étant résolues, les coefficients de l’équation (38) seront tous connus, et le produit des racines étant égal au dernier terme, on déterminera la dernière racine x1K par l’équation

qui donne

X, X,. . . Xs„-,

On choisira le signe arbitrairement, cl la valeur correspondante de A-r3„ satisfaisant à l’équation

/(j„)+6(x„)(Ai„)-=o,

et l’on aura

Ax, Ax.

,/.r„ </x„ Ax..-, Ai»

xtm étant une fonction connue des variables indépendantes x,. .r, ,r,„