LIVRE TROISIÈME. — THÉORIE UES FONCTIONS ELLIPTIQUES. .SI

x,„ esl nul, il est aisé de le voir, quand on suppose en même temps x, = o, .r, = o,.... x2n.,T=r>. Pour que l’équalion ''18, admette en effet an— i racines

nulles, il suffit d’y faire a, = o, a, — o = o, b,= o i„, = o, ce qui

la réduit à

dont toutes les racines sont nulles. En intégrant l'équation 48 j on peut, d’après cela, faire commencer toutes les intégrales à la limite inférieure zéro, et l’on trouve

588. Pour obtenir une équation semblable dans laquelle les termes du premier membre, toujours arbitrairement choisis, soient en nombre pair, il suffira de poser

?(x) = b. -t- 6, r*-t-. , . -t- fr,.,x,*-,<

cl si l’on pose

/(*)’ — ?(*)’(' —**)(! — b — — x;)(x’— x,’).. . (x* — xJ.H*1 — x*.*,},

on pourra sc donner arbitrairement x,, .r,,..., xa„ et déterminer n„, a a„,,

bt, b, Z>„, par des équations du premier degré de la forme

/(•*■.)+ «plxdAxi — o,

où le signe du radical Axy sera choisi arbitrairement; .iç,,*, étant alors déterminé par l’équation

= êj,

on aura

Jif,... Xim •

On prendra le signe pour lequel l'équation

donne pour Aa;3„+1 une valeur négative, et l'on aura

tlx, tlx, i/x„ </x ,»*,

Ax, Ax, Axa* Ax„+1

où est une fonction connue des variables indépcndsntes x,, x xt„. On

verra, comme dans le cas précédent, qu’en faisant r, = o, x3 = o,..., ,r,„ = o, il en résulte x,.+, =o, et que l'on a par conséquent