LIVRE TROISIÈME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. .iS

et sops cette coédition on a

dx, dx, (/.i ,

ce qui s’accorde avec le résultat obtenu 583 .

Théorème (le M. Clebsch.

591. M. Clebsch. dont les beaux travaux sur celle théorie se sont étendus beaucoup plus loin, a donné au théorème d'Abel une forme géométrique très-élégante. Considérons la courbe dont l'équation est

( 5a ) y* = a -t- bx •+• ex ' -t- dx‘ 4- ex',

et cherchons l’intersection de cette courbe avec une autre courbe quelconque ayant pour équation

on pourra, par le moyen île l’équation 5a ;, éliminer de (53) toutes les puissances de v supérieures à la première, et l’ordonnée de l’un quelconque des points d’intersection sera exprimée par une fonction rationnelle de l’abscisse

l’équation qui donnera les abscisses des points d’intersection est par conséquent

( 54 ) y ( x ) = P‘ — Q’ ( a bx -+ ex ’ ■+- d. i s •+■ ex' ) = o.

Supposons que dans cette équation on fasse varier d’une manière quelconque les coefficients de l’équation (53), les racines de (54) varieront, et si les variations considérées sont infiniment petites, on aura pour chaque racine

55 ?’(*) dx 2P ôp — 2y<3Q(«-eft.r-t- ex' -t- <lx‘ -+- ex 1 ) = o.

le signe & se rapportant à la variation subie par les polynômes P et Q lorsque leurs coefficients changent infiniment peu. On déduit de (55), en multipliant par

et tenant compte de l’équation (54) qui a lieu pour toutes les racines,

0 , OôP-l’ôQ

B dx -I- 2 = O.

Or il est aisé de voir que QifP — PdQ est d’un degré inférieur de deux unités au

Ml

moins il relui de ç on trouvera

DEUXIÈME l’ABTIE. - CALCUL INTÉGRAI..

; si donc on ajoute les équations relatives à chaque racine,

V 0 Hx

c'csl-à-dire, d'après l'èquation r>4j.

tlx

± \ il + bx + ex’ + ilx' - f- ex'

et l'on voit que la somme des intégrales

J a \ a -+- bx -4- ex' •+• i/x' -I- ex'

dans lesquelles on prend successivement pour limite supérieure toutes les racines de l’équation f 54), c'est-à-dire les abscisses des points d’intersection des courbes considérées, restera la même lorsque, la courbe (5a) restant fixe, la courbe f 53 j changera arbitrairement en conservant le même degré.

On peut démontrer le même théorème sans aucune modification en remplaçant la courbe du quatrième degré '5a) par une autre courbe ayant une équation de la forme

/ \x) désignant un polynôme entier quelconque.