LIVRE TROISIÈME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

le üénomiDalcur est, on s'en assure aisément, identiquement égal au produit

[ sin' am u — siri’am e)( i — Ar’siii'am » sin’ ame ),

el l'on a, par conséquent,

(ia) sinam(n-n>):

sin nm u cos am v A«m v -t- sinami'COMMRtt Samu i — A'sin ’nmii siii'amc

Cette relation pourrait d’ailleurs sc déduire immédiatement de l'intégrale donnéé(583). ,

Les deux dernières équations 1 1 donnent aussi

, si nom u cosamitSamv — sinnmecosam v Anm u

COsam( « -4-1= . . . :

sinamii cos amv Sam v — sin «m e cosamu a am»

et en multipliant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par la somme des ternies dont la différence forme le dénominateur, et supprimant ensuite le facteur sin ’o/iiu — sin’ame commun aux deux termes, on a *

, ,, cosamu cosamv — sinamu sin «ni f Aamu Samv

1 3 ) cosam (u + v)= •

i — A’sin'amii siii'ame

La première des équations :'i i donne enfin

sinamusinamr Aam(u -4- v) — cosamu cos amv — cos am[u -f- v), et eu substituant à cosam [u-hvj sa valeur fournie paé l'équation { 1 3) . on trouve

A am («+c|r

Sam u Samv — A 1 sin am» sinnm v cosamu cosamv i — A1 sin’ «mn sin’amv

Généralité des formules.

594. Les équations fia), (i3), (i4) sont les formules fondamentales de la théorie des fonctions elliptiques, elles sont démontrées seulement pour des valeurs des variables, qui, d'après la formule de définition, doivent être réelles, et ne pas dépasser certaines limites imposées par la considération du triangle sphérique, dont les eûtes sont 9, i}> et fi. Les trois formules néanmoins s'appliquent à tous les cas; mais, pour le démontrer, il est nécessaire d’étendre et de préciser les définitions données au commencement de ce chapitre.

Reprenons l'équation

Jo v

dtp

yri — A’sin’o

qui lorsque <p est réel et positif, k étant moindre que l'unité, ne présente aucune

ambiguité. On en conclut

</i y'. — /l'sin'o "" Samu'

et. par conséquent, y étant égal à amu.

ilam u

. = A «ni i±

au •

On en déduit

i/sinamn J amu .

, —cosam u —, - = cosamu aam u,

du du

d cos am u , d am u . .

— —, - - — — sin amu , = — sin amu garnit,

du du

d&amu d . - ...

— j- — = y- y i - k‘ sin'om u — — A 'sut am u cos am u.

Ces trois formules, considérées comme toujours exactes, seront prises pour équations de définition dans les cas où les définitions précédentes laisseraient subsister un doute sur la valeur précise des radicaux qui y figurent, et elles permettent de démontrer, pour tous les cas, les équations (i a), (i3j et(i4).

Posons, en effet,

U si n «ni» cosamv Aamv ■+- sinnmc casamu Aamu

i — h ‘siu‘ amu siu’ame

nous trouverons, en représentant le dénominateur par D,

rfll cosamu&amucosamv Aamv — sin amestn amu A’amu —1,’sinamveos’amusinamu

dü~ ' D

a (sin amu cosam v Aamv-bsinamvcosamu Aamit)lt,s\n’nm vsinamncosamu Aamu

+ - Xh

Celte expression de ^ est symétrique par rapport aux lettres u cl v. On s'en

assure eu la multipliant par I)3, qui est symétrique, supprimant les termes dont la symétrie est évidente, et constatant que la somme de ceux qui restent est égale à

— sin amu Sina»it'( y amu A'amv -+- 1 ‘ cos'- am u cos'amv).

LIVRE TROISIEME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. On a, par conséquent,

r/R r/R du dv

On en conclut

«H = <i(i -4- dv r= ^ au 4- tlv

ne peut élre identiquement nul, car ^ le serait aussi, et R ne contiendrait ni u ni e. La condition nécessaire et sullisante pour que r/R soit nul, est donc

c’est-à-dire

r/« 4- tlv — o.

« s- v — ronst.

La fonction K et la somme u -+- o sont par conséquent constantes ensemble et variables ensemble, et R est une fonction de u -+- v, mais pour e = o, R se réduit à sina/nu cl l'un a, par conséquent,

R = sina;ji[ u-t- v).

Les formules (i3j et (i4) se démontreraient de la même manière.

595. On peut en déduire un grand nombre d’autres, dont l’usage est très-fréquent, nous citerons seulement quelques-unes des plus élégantes, qui peuvent d'ailleurs se vérifier immédiatement. On a

siiinm i« —

cos amiti ~

A nota u —

2 sin am u COS am u A nm u i — It'sin'amu

cos’am u — sin’aor u A'rrm « î — /r'sin‘amu

A’noiri — /.’sin'nm rr cos'nm « i — />!sin‘rjflii<

a sin am P ’ ^ cosam P-

Aooi P- — ^ a

(ai) sinamp ■+• sin<una = — — — - — ■ —

* * n -) - fi n

i — li’ sin’aoi - - sin’uot - —

(aa) cosam p + cosam q

a cosam *■ — — 1 cos am ’

— A'sin’a/ii P sio'nrn P î