SOI

Périodicité des fonctions .

597. Les fonctions sina/nu, cosa/nu, Samu admettent chacune deux périodes, qui sont: pour sina/nu, 4“ et au'y — i; pour cosa/nu, 4u et au 4- ai» V — i; pour Aa/nu, au et 4“' y'— i, c’est-à-dire que l’on a, quelle que soit la valeur de u,

sin am ( u -t- 4 « — si il am u, sin am u -*- a w' y' — t j = stn am «, cosnm'u -+- 4«) = cosam ».

cosam (« -t- au -+■ au' y — i ! = cos amu,

Sam(u -t- 5u) = Sam n,

Sam f « -t- 4 u' y — i ; = S am u.

Les équations (i8j, (igj et (ao) permettent en effet de calculer sina/nau, cosa/nau, Aa/nau, elles donnent

| sinam au = o,

( 3 1 ) ■ : cos am i <a = — i ,

^ Sam an = -t- 1.

On en conclut, à l'aide des formules (la), (i3) et (i4j.

| sinnm(« -t- 1») = - siunmu,

(3i) ■: cosam(n + >«) = — cos amu,

I Sam[u +ia) = 4«m#,

et les deux premières donnent, en y changeant u eu « 4- au,

sinam(« -4- 4'<>) — sinamu,

• cos am (u ■+■ 4*>) — cos amu.

On déduira aussi de ( r8;, '19) et (20

. sinmu îm + 1 V y — 1 / = o,

• cosmn 26> 4- 26>' y' — ij=4-i,

A mil ! 2 6) 4- 26)' y’— 1 ) = — 1,

ei les formules fia), i3; et (i4j donnent

| sinmu (11 -1- 2 6) 4- 26)' y — 1 ) — — sinumu. (33} < cosom K + 26)-t-26i'y — »j=cosflm«,

Afl/ll (il H- 2 6) -4- 26)' y —I j 2= — Aflm II.

L’addition de 26>4-26>V— 1 à la variable change donc le signe de sinamu, et comme il en est de même de l’addition de au, au' y1 — 1 ne change rien et est une période de sinamu; au 4- aw'y — 1 en est une de co.sumu, et la troisième des équations 33 j montre enfin que ata 4- ata'V— 1 ajouté à la variable change le signe de Garnit, et comme au esl une période, l’addition de au'y — 1 changerait également le signe de \amu, et celle de 4 '•> y' — 1 rétablit la valeur primitive.

598. Les résultats précédents, il est aisé de le voir, permettent de calculer sans ambiguïté les trois fonctions sinnmu, cos amu, A am u pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de la variable. Le sinusd'amplitude est défini, en effet (596), pour les valeurs réelles de la variable comprises entre zéro et 6). L’équation (ai

2 sin am P ^ cos am — — ^ Aam P — 2 2 22

si » am p 4- sin am q •

i — A’sin’nm - ’ ^ sin’om

donne

sin am 11 4- sin am (— u ; — o,

et la fonction est définie par conséquent pour les valeurs de la variable comprises entre — 6) et -t- 'a. L’équation '3a)

sin nml.it 4- 26>) — — sinnmu

achève enfin île la définir pour toutes les valeurs réelles de u. I/équation (a4)

a sin am

cos am p — co s «m r= •-