LIVRE TROISIÈME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

. cos am u — cosani { — « )>

et la fonction cos arnu est définie par conséquent pour les valeurs de u comprises entre -uet+41; l’équation (3a)

cosam (h -i-a6)) = — cosam «

achève de la déterminer pour (ouïes les valeurs réelles de u.

L'équation (36} donne enfin

. A am u — -T- \ am ( — u),

et A am u étant defini par les valeurs comprises entre o et tu, et ayant pour période 2'u, se trouve déterminé, ainsi que les deux autres fonctions, pour toutes les valeurs réelles de la variable.

599. Nous avons délini (590; les valeurs de sinamu, lorsque u étant de la forme ta 4- z y' — 1 , z varie de o à cosam (w 4- z y — 1 ) et A am (tu 4- z y' — 1 ) sont également définis sans ambiguité : si na/n (*> 4- z y'—T ) étant, en effet, réel et plus grand que l'unité, cosam (w 4- zy — 1) est imaginaire de la forme j3y — 1 et j3 varie de o à y' 1 — k7-, Aam(w4-zy — 1) est réel, au contraire, et varie de y 1 — k1 à o.

On déduira de ce qui précède si nam z y'— 1, cosa/n z y — 1 et A amz\j — 1 pour les valeurs de z comprises entre o et <u'\ la formule (13; donne,

sinamz y — 1 =r sinaui ( tu 4- z y — 1 — w )

cosam (fti 4- z^— 1 ) A am(tu 4- * y — 1 ) cosam (<u 4- z V— 1)

1 — A’sin’am ( tu 4- z y' — 1 ; A am (tu 4- «y — 1 )

Sin am (u 4- z y— 1 ) étant réel et compris entre 1 et ^ > cosam (ta 4- zy — 1 )

est imaginaire et de la forme j8 y — 1; mais A am I/o 4- z y — 1) est réel, et sinamzy — 1 est par conséquent imaginaire, sans partie réelle. Si l'on fait z = tu, on a

, , , cosam(w4-«'y — 1)

sinamii, y — 1 = — . ,

A am (u 4- tu' \ — 1 J

et, comme A am('u 4- tu y — 1) est égal à zéro, si n orna,' y — 1 est infini.

Sinamzy — 1 se déterminera enfin pour toutes les valeurs réelles de z, à l’aide