LIVRE TROISIÈME. — THÉORIE DES FONCTIOXS ELLIPTIQUES. üttt

précéder ce chemin de l’un des quatre contours élémentaires,

a» — J, — au — J, au au' l/—î — — au — ao/y' — i — J,

et l’on en conclut que par l’adjonction successive d’un nombre quelconque de ces contours l’intégrale peut prendre l’une quelconque des valeurs exprimées parla formule

anw -S amu + amu' y — i -+- ( —

ce qui s’accorde parfaitement avec les résultats obtenus précédemment.

Étude des infinis et des zéros de sin omit, cos am u , A amu.

601. On a vu (542) quelle est dans l’étude d’une fonction l’importance des valeurs de la variable qui la rendent nulle ou infinie, et du degré de multiplicité qu’il faut attribuer à chacune d’elles. Nous devons donc chercher les valeurs qui rendent nulles ou infinies les trois fonctions sinamu, cos amu. A amu. Résolvons en premier lieu l’équation

Soit

x et y étant réels, on a

( 35) sinam (x +X\r~ 1

sinani x cosam y\f—i A amy^ — i •+- sin amyv1 — i rosa/nx Aam x i — A'sin’amx sin’a/n r\'— i

I.e dénominateur de cette expression est réel f599 . ainsi que le premier terme du numérateur; le second est de la forme B \ — i, B étant réel, et l’équation

sinam ! x -+- /V— 1 ) = «

se décompose par conséquent en deux autres

sinamxeosam^-y- i A amy\ — i =o, sinam vy — i cosam x \amx = o.

Cos amy\j— i et A amy\— i ne pouvant pas être nuis (599), on doit avoir . sinam.r = <»,-

sin am u — o.

SNi DEUXIEME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL,

et par conséquent

,r — Tinta,

n étant un nombre entier quelconque.

Sinnm.r étant nul, eos<jm.r et Aamx ne peuvent pas l'être, et la seconde équation se réduit à

sin amy^ — i = o,

par conséquent

r = t tnta ,

m étant entier.

Les solutions cherchées sont donc renfermées dans la formule

u = 2nta ■+■ im ta' ^ — i .

Nous les avons obtenues en égalant à zéro le numérateur de (35). Il est aisé de voir qu'en rendant le dénominateur infini, on n'annulerait pas la fraction; sinamy\ — i, cosarnytj — i et Aamyyj— i deviennent, en effet, infinis en même temps et sont des infinis de même ordre; le numérateur de (35) devient donc infini en même temps que le dénominateur, et leur rapport ne s’annule pas. Toutes les racines de l'équation

sill a tu u = o

sont des racines simples. On a, en effet,

d sin ai» u ,

3 = cosnm « Aam u. .

du

et la fonction sin«/n« ne s’annule jamais en même temps que sa dérivée.

602. En procédant absolument de la même manière, nous trouverons que les racines de l’équation *

co sam u — o

sont données par la formule

et celles de par la formule

« = (»M-4-l)«l-+- Iffld'l1 — i,

Aam u — a

et toutes les racines sont des racines simples.