Résolvons enfin l'équation (36) sinam « = oc
dont les racines sont évidemment les mêmes que celles des deux autres équations
on a (505) (37)
cos nm « = ao .
Sam u = ao ;
sin am 3» =
3 sinam u cos am u S nm »
i — -ï* sin' amu
Sin amu, cos arnu, Samu deviennent infinis en meme temps et leurs modules sont de même ordre; toute valeur qui donne sin a/nu = œ doit donc, d’après l'équation (3^), donner sinam au = o, et il faut chercher les racines de l'équation (36) parmi les valeurs de l’expression
- fanw +- a mm' y — i ),
et l'on s'assure bien aisément que celles qui sont de la forme
5)IU + (j}+l)llV-l sont les seules qui satisfassent.
Résolution des équations sin arnu = si nama, cos amu = cos am a.
603. On sait quelle est, en Trigonométrie, l’importance des formules qui font connaître les arcs répondant à une ligne trigonométriquo donnée. Le problème analogue ne joue pas, dans la théorie des fonctions elliptiques, un rôJe moins considérable.
Considérons d'abord l’équation
(38) sin am u — sinam a,
que l’on peut écrire
sinamu — sinama=;o,
c’est-à-diré (595)
3 sinam cosam A am
. U 4> a U — OC
• i — k ’ sin*am sin’am
Pour que le second membre soit nul, il faut que le numérateur soit nul ou le
dénominateur infini, et les résultats précédemment obtenus donnent très-aisément
( u — « = 4»oi + îm r, l' v — > ,
* « + * = (ijn + j)si + jmii/v’—i,
et l’on voit que la différence « — a doit être une somme des multiples des périodes ou la somme » + a égale à au augmenté d’une somme des multiples des périodes.
t>04. L’équation
(4a) cosam u = cosama
est tout aussi facile à résoudre; on a
a si nom
cosnm « — cosnm a — — —
Anm - An/n
A ' sin’nni sin’am
et l’on en conclut que les solutions de l’équation (4o) sont données par les formules
« -H a = 4m<.> -t- an (w -t- /.>' y/ — i ),
et l’on verra d’une manière toute semblable que les solutions de l’équation
(4a ) Anm u = An/» a
sont
j Il — l=rjmM + 4'l“' — i .
* u -i- a = amoi -+- 4»u'V — >.
m et n désignant des nombres entiers quelconques.
Expression de si nam («-(-«/ y — i ).
