LIVRE TROISIEME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES
MW
conséquent
i = h 1 sin’om ( U + — ‘J sin’flfli «,
d’où l’on déduit
sino/n f « -i- uV— i ) = , . *
Asmuniu
Si l’on fait a — le premier membre devient j- < et sinamu étant égal à l'unité,
il faut adopter le signe 4-, qui convient dés lors dans tous les cas; car on peut passer du la valeur u = o a telle autre valeur que l’on voudra choisir, sans que dans l'intervalle la fonction sinon» u devienne nulle ou infinie.
Sur les fondions doublement périodiques.
60ti. Toute fonction qui admet deux périodes a et fi n’est pas pour cela doublement périodique; elle ne doit prendre cette dénomination que lorsque les périodes sont distincte
Deux périodes dont le rapport est imaginaire sont toujours distinctes.
Soient en effet a et fi deux périodes dont le rapport “ est imaginaire; suppo-
'fi
sons, s'il est possible, qu’on puisse les remplacer par une période unique cr. Les seules périodes que l’on puisse déduire de la période sr sont les multiples de sr et si l'on avait
miD ~ «, nm s |3,
tn et n étant entiers, on en conclurait
et, contrairement à notre hypothèse, le rapport * serait réel.
Deux périodes dont le rapport est réel peuvent toujours au contraire être remplacées par une seule.
Supposons d’abord en effet que le rapport “ des deux périodes soit commensurable et égal au rapport de deux nombres entiers p et <y, on aura
et en nommant a la valeur couimuue de ces deux rapports, il suftira qu’une loue-
lion ail pour période u pour qu’elle ait aussi pu, c’est-à-dire a, et qu, c’est-à-
dire /S.
Supposons enfin que le rapport ? soit un nombre incommensurable t; la fonction dont a et fi sont les périodes a aussi pour période
ma — n(J = [3 (mt — n),
m et n désignant des nombres entiers quelconques. Or on sait, par la théorie des fractions continues, trouver des nombres entiers tels, que la différence mt — n soit aussi petite qu'on le voudra. La fonction a donc une période dont le module peut décroître indéfiniment, et par conséquent elle ne change pas quand la variable s'accroît infiniment peu; sa dérivée est par conséquent égale à zéro et elle-même se réduit à une constante.
Représentation géométrique de la double périodicité.
607. Considérons une fonction <p[s) ayant pour périodes a-{-b\!— t et a'+b'\ — i. Les points pour lesquels, en vertu de cette double périodicité, la fonction reprend la même valeur, sont les sommets d'un réseau de parallélogrammes égaux et juxtaposés qui recouvrent entièrement le plan. Supposons en effet la variable : représentée par le point M; si nous lui ajoutons la période a + b y — !, la somme i + fl + iv-' correspond au point M’ obtenu en portant, à partir du point M, une parallèle à l'axe des X égale à a, et par l'extrémité de celle-ci une parallèle à l'axe des Y égale à b, c’est-à-dire (car évidemment cela revient au même} en menant par le point M une droite de longueur y a2 h- b1 faisant avec l'axe des X un angle dont la tangente soit Celle droite peut d’ailleurs
être portée dans les deux sens opposés et un nombre quelconque de fois. On obtiendra ainsi une rangée de points équidistants et placés en ligne droite, et la fonction, pour les valeurs de la variable qui leur correspondent, aura la même valeur. La seconde période a' -t- b' y — i permettra de former une seconde ligne
