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UVRE TROISIÈME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES, analogue à la première et différemment inclinée, et comme pour chaque point de chacune des deux rangées on peut répéter ce qu'on a dit du point M, on obtiendra deux séries de parallèles équidistantes décomposant le plan en parallélogrammes pour tous les sommets desquels la fonction aura la même valeur.

Le point M qui sert d’origine au réseau a été pris arbitrairement, en sorte que les côtés des parallélogrammes étant déterminés en grandeur et en direction, il reste permis de les déplacer arbitrairement en les laissant parallèles à eux-mêmes et en conservant les mêmes distances. Il est évident qu’une fonction périodique prend, dans l'intérieur de l’un des parallélogrammes du réseau, toutes les valeurs dont elle est susceptible, et que ces valeurs se reproduisent exactement les mêmes aux points correspondants de tout autre parallélogramme.

608. Deux périodes a et jS étant données, on peut en déduire deux autres

ma -+- «|3, m'a-+-rifi, m, n, m', ri désignant quatre nombres entiers arbitraires, et ces deux périodes nouvelles fourniront, comme les premières, un réseau de parallélogrammes aux sommets desquels correspondent des valeurs égales de la fonction. Deux cas peuvent se présenter : ces nouveaux parallélogrammes ont les mêmes sommets que les premiers, sans qu'aucun ait disparu, ou bien ils ne reproduisent qu’une partie seulement de ces sommets. Il est évident que dans aucun cas ils n'en peuvent donner de nouveaux. La condition nécessaire él suffisante pour que les deux réseaux aient les mêmes sommets est que leurs parallélogrammes élémentaires aient même surface. Si l’on considère en effet dans le plan une surface de forme arbitraire, un cercle ppr exemple, de dimensions infiniment croissantes, le nombre des sommets qui s'y trouve renfermé est égal à celui des parallélogrammes; car en négligeant les parallélogrammes coupés par le contour, dont le nombre relatif est infiniment petit, à chaque parallélogramme correspondent quatre sommets et à chaque sommet quatre parallélogrammes. La surface d’un parallélogramme est donc la limite du rapport de la surface indéfiniment croissante au nombre des sommets qu’elle renferme, et pour que deux réseaux déduits l'un de l’autre aient les mêmes sommets, il faut et il sullil que les parallélogrammes élémentaires aient même surface. *

Impossibilité d'une troisième période.

609. Une fonction bien définie ne peut admettre plus de deux périodes distinctes. Soient en effet a, fi, y trois périodes non réductibles à deux; nous allons prouver que la fonction se réduit à une constante. En combinant en effet les trois périodes deux à deux, et prenant pour origine un point arbitraire, on formera trois séries de parallélogrammes dont chacun couvrira le plan et pour tous les