I. Cale. Int

603 DEUXIÈME fARTIE. - CALCUL INTÉGRAL,

sommets desquels la fonction aura la même valeur; chacun de ces sommets pourra de plus être pris pour point de départ de trois réseaux semblables, et l’on formera un nombre infini de réseaux h tous les sommets desquels doivent correspondre les mêmes valeurs de la fonction. Soient, parmi tous ces sommets, P, Q et R ceux qui forment le triangle de moindre surface. En formant un réseau de parallélo-

grammes ayant pour côtés QP, QR, tous les sommets de ce nouveau réseau seront des points déjà obtenus; car en portant à partir d'un point quelconque une ligne égale et parallèle à PQ ou à PR on ajoute à la valeur de la variable qui correspond à ce point une somme de multiples de trois périodes. Aucun point déjà obtenu ne pourra d’ailleurs se trouver dans l’intérieur des nouveaux parallélogrammes, car, sans cela, contrairement à l'hypothèse, il formerait avec deux des sommets un triangle de surface inférieure à PQR. Tous les sommets déjà obtenus appartiennent donc à un seul et même réseau, et les trois périodes sont réductibles à deux. Il faudrait, pour qu’il en fut autrement, que la surface du triangle PQR se réduisit à zéro, et ta fonction ayant la même valeur pour tous les points du plan serait alors une constante.

Propriétés des fonctions doublement périodiques bien définies.

610. Les fonctions auxquelles se rapportent les théorèmes que nous allons démontrer sont supposées bien définies; elles doivent, pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de la variable, prendre une valeur unique et déterminée, et l'on a vu (535) que, par une conséquence nécessaire, une telle fonction, si elle devient nulle pour une valeur particulière s = a de la variable, est de la forme

p étant entier et 4> f ce) n’étant ni nul ni infini. Lorsque la fonction devient infinie pour la valeur z = elle est de la forme

ni al

q étant entier et rs\ (3) n’étant ni nul ni infini. On dit, dans les deux cas indiqués, que la fonction s’annule p fois pour ; = « cl qu’elle devient q fois infinie pour s=/3.