LIVRE TROISIÈME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES
611. Nous avons vu ('539; que toute fonction bien définie devient infinie une fois au moins, line fonction doublement périodique se reproduisant identiquement la même dans l’intérieur de chaque parallélogramme (607; doit devenir infinie une fois au moins pour une valeur correspondant à un point intérieur de l'un quelconque des parallélogrammes élémentaires; mais une seule valeur infinie, nous allons le prouver, serait impossible, et toute fonction doublement périodique devient infinie deux fois au moins dans l'intérieur de chaque parallélogramme 'élémentaire.
Il résulte en effet du théorème ( 539) que la fonction doublement périodique fis) doit nécessairement devenir intinic pour une valeur de s au moins dans l’intérieur de chaque parallélogramme. Soit s = a cette valeur, on aura
ayant une valeur finie k; car si le dénominateur élait d'un degré p supérieur au premier, la fonction serait considérée comme devenant p fois intinic.
Calculons l'intégrale j <p [s] dz le long du contour du parallélogramme élémentaire qui contient le point correspondant à z = «. Si celte valeur est la seule qui rende la fonction infinie, on aura ( 349 J , (344;
(45. j'f{s) dz =ilce .
Mais les éléments de l’intégrale relatifs à deux côtés parallèles se détruisent évidemment deux à deux, et l'on a par conséquent
i4*>) Jf[z)dz — o.
Les deux équations (45) et (46j étant contradictoires, l’hypothèse dont elles résultent est inacceptable, et la fonction f(s) doit avoir deux infinis au moins.
612. L'équation f (a) = o admet aussi deux racines au moins dans l'intérieur de chaque parallélogramme, et le nombre total de ses racines est précisément égal à celui des valeurs infinies de la fonction fis).
Considérons en effet la fonction ; celle fonction, qui est doublement pério-
dique comme la fonction proposée f[z), n’admet que des infinis simples. La fonction considérée ne peut évidemment devenir infinie que quand fis) est nul luirnème ou infini (533). Soit
p étant entier {535} et <(»(*) ayant pour z = a une valeur finie. On en déduit
et
et comme (533; est finie ainsi que i|i(s) pour z = a, a est, pour la fraction ■ un infini simple dont le résidu est égal à p.
Soit en second lieu
il i
étant fini ainsi que sa dérivée pour z = a, on a
et
f .ij 3 —a; ,i
et la valeur infinie qui correspond à z = a est encore un infini simple dont le résidu correspondant est égal à — q.
L’intégrale de la fonction ' “ dz autour du parallélograinmc est, d’après ee -qui précède, égale à
et comme 611 , elle doit être nulle, on en conclut
c’est-à-dire que le nombre total des zéros est égal à celui des infinis.
613. On doit faire cependant une remarque importante au sujet des valeurs correspondant à des points situés sur le contour du parallélogramme élémentaire qui rendraient la fonction nulle nu infinie. Le raisonnement précédent ne s’y applique pas, mais l’un des sommets du parallélogramme pouvant être choisi arbitrairement, il sera toujours aisé d’éluder la difficulté, quand elle se présentera, par un déplacement des côtés dont la grandeur et la direction sont seulement données.
J, * - . «A. JL
