LIVRE TROISIEME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. WW

On peut d'ailleurs étendre le théorème à ce cas :

Soit l’ un point situé sur le contour du parallélogramme pour lequel la fonction . devenant infinie, ait un résiiiu égal à k\ le point P,, placé symétriquement sur le contour opposé du parallélogramme, présentera le même caractère, et si l’on calcule Ç le long du contour AÜCD. en réduisant l'intégrale à la

valeur principale, les résidus relatifs aux points P et P, devront être multipliés seulement (345 par ny -i, en sorte que les deux points P et P, donneront dans l'intégrale ait: y'— i , comme si, en employant la formule géuérale, on ne comptait que l'un des deux seulement.

Supposons enfin que la fonction devienne infinie pour le sommet A du

parallélogramme élémentaire, et par conséquent aussi pour Jes trois autres sommets pour lesquels elle aura le même résidu k. On trouvera aisément, en suivant la

même marche que (345), que, dans le calcul de l’intégrale J eh, il faut multi-

plier le résidu relatif à chaque sommet par le produit de y — i par l'angle correspondant à ce sommet, en sorte que la somjne des quatre termes sera ikr, \ — i , précisément la mente que si, en adoptant la formule générale, on n’avait compté qu’un seul sommet. Nous pouvons donc étendre à tous les cas les résultats précédemment obtenus en convenant de ne compter qu'une seule fois les infinis et les zéros de la fonction relatifs aux points symétriquement placés sur le contour du parallélogramme élémentaire.

Théorème de M. Liouvillc.

614. Toute fonction bien définie ayant pour périodes au et /ju'y — i est exprimable rationnellement en fonction de sinamu et de sa dérivée

Ce théorème est un corollaire presque immédiat du principe démontré (542) : Quand deux fonctions bien définies ont les mêmes zéros et les mêmes infinis, leur rapport est une constante.

Soit F(u) une fonction doublement périodique ayant pour périodes 4'o et