MULTIPLICATION ET DIVISION DE L'ARGUMENT

Calcul direct de sin amnu, cos am nu, Aarnnit.

615. Les formules qui expriment les sinus et cosinus d'amplitude d'une somme permettent de calculer successivement le sinus et le cosinus d'amplitude du double, du triple, etc., d'un argument donné. En faisant, par exemple, u = v dans les formules d’addition, on trouve

sin dm a»

a sin am a cosam u \am u i — k’ sin'dm u

ros’«m a — sin’nm n A' dm «

cosdm lit — > — — - ,

t — A 1 sin'dmu

A’ dm « — k’ sin'dm « cos’ dm «

A dm a» — — .. • •

i — *’ sin’dm u

En remplaçant dans les mêmes formules u par iu et se servant des résultats précédents, on trouvera, en posant pour abréger sinumu — x.

sin dm 3 u

3 jr — 4 ( 1 “A" />') jt* ■+■ 64 ’jt* — k'x' t — dk'x'-t- 4 A ’(| -t-

On pourrait évidemment calculer ainsi le sinus ou le cosinus d’un multiple quelconque de l'argument; mais cette méthode n'indique pas 1^ loi de formation des numérateurs et des dénominateurs, elle n'en fait pas même connaître exactement le degré; car des facteurs communs s'introduisent dans les deux termes des fractions obtenus. On peut les éviter en suivant une autre voie qui mène plus rapidement au but. En multipliant les valeurs de sinaw(«-t-p) et de sinnm (u — v) (■593), on trouve

sin dm (d H- c) sin om{« — c) =

sin’dm n — sin’nm »

i — k‘ sin'omn siii’nmr

Si dans cette formule on remplace « par (p -t- >)« et v par pu, on obtiendra la suivante :

sin am u sin am [if +i]«-

sin 'ami p + i )« — sin’ am pu i — A’ sin’dm ( p sin’dm pu

Mais on a