I. Cuir, int
««— r’)(i — A’r’} V< • — jc» h * —
mais
et
o P 'LO,
dr </ P. V“ dx r" dx
dx dx Q,
— k’r') = Q= v'(0.i -Pi! «K - **Pi
l'équation (8 i devient donc
rfP. p dQ,
dx ' dx «
v'foT^Pi ) (Q; - ï fP: ) *'ô • /■ - < ï
et l’on a
vifiB-pj)«K-*n\î) = j v'V> - - *’*•') (q. dJ; - p* f2")-
Si donc q' est rationnel, g” ne contiendra que le seul radical \ t — a?a, t — k2x2),
et l’oti voit, en outre, que les carrés PJ„, Q|„ seront rationnels.
En partant des valeurs
on formera successivement P2, Q2. P,, Q3,...i et l'on voit aisément que, pour les valeurs impaires de n, P„ et Q„ sont des fonctions entières, la première de degré ri2, et la seconde de degré n2 — t; P„ d'ailleurs ne contient que des puissances impaires et Q„ des puissances paires de .r seulement. Si l’on pose
il existe entre les coefficients du numérateur cl ceux du dénominateur des relations faciles à obtenir. Si l’on change, en effet, u en u w'\ — i, sina/«u ou x se change (605; en et sinam/m nu v en j- - L’équation ;)j doit donc être
telle, qu’en remplaçant a; par ^ > v devienne ^ • Ou en conclut aisément
A, tt, /, ’ , A. ,.. ., A,„ 1
D’ailleurs, pour une valeur infiniment petite de .r, y est égal à /u-; par eon-
l.IVRE TROISIEME. - THEORIE ÜES H INITIONS EU.IITIQOES
séqucnl
Si l’on chasse le dénominateur de l'éqnation <) j pour ordonner ensuite par rapport aux puissances de x, l’équation -prendra la forme
et il résulte des relations précédentes que la somme des racines est (10)
et leur produit
Division des fonctions elliptiques.
01 fi. Les formules 'i) qui expriment sin«/« au, vosarn au, àain au donnent immédiatement
(ia)
sim uni = z
1 / 1 — - A am n
Tf\ i -t- cos am 11
/ i — ros am u V « + A am u 9
u . , /cos antu -+- A amu \ — AT 1 — A omit
cosam -- di t r = ± 4 / — =- ■ \ / x *
2 y 1 -t- àamu \ A* V A am tt — cos amn
. n } cosam a \anui , , i — cos amu
A am àz\/ — -+- y i -A1 4 '
2 y i -4- Ciiximtt \ A a mu — cosam u
Ces formules ne donnent que deux valeurs, mais on y suppose cos amu et Aamu connus; si l'on donne seulement sinami/, le cosinus et le A ont chacun
deux valeurs, et la formule {\ a) donne huit valeurs pour sinam": on trouve , // ti + A siu am m±^i — A sin am n
*'MWr/// -^rrr===rr
* ±: y i — sin f/m «±vm- sinam a
On s’explique aisément ces huit valeurs. Tous les arguments auxquels correspond
ItBUXlfcMK PARTIR. - CALCUL INTÉGRAL.
un sinus «l'ampliunie donné’sont' représentés par la formule
( — l)“î(+ 5«IM+ 2 n *A V — I ,
dont les moitiés sont
( — i y* -h m m -f* n ta* \ — i ,
et le sinus d'amplitude a huit valeurs égales deux à deux et de signes contraires, répondant aux arguments
Applications géométriques.
617. Si l’on coupe par une droite la courbe du troisième degré dont l'équation est
( 1 5 1 ) * — o -+ bx -4- ex' -+- dx',
la somme des trois valeurs que prend l’intégrale
bjT
dx
lorsque l’on prend la limite x égale successivement aux abscisses des trois points iTintcrseetion, a une valeur constante (591 ) pour toutes les droites du plan.
Soit
a'x. bx -+• rjr’-r- dx' — d\x — «) (* — j 5)1 x — y).
Posons
.r = |3 siti’nm « a- y eos' am u ;
on aura
/ x — a - ( y — a ) -+- { |î — y) sin’am u,
|i- |S = (y — p) cos 'am n,
I x — y = ijî~ yjsin'UHiK,
dx - i 3 — y )sin amu casamtt Aamu du.
LIVRE TROISIÈME. - THEORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES, el par conséquent '
djr a A oui u du
Jd[x — «)( JC — 3 ){* — '/) t, : . / 3 — / , ,
’ ' y </{ , — y) y/ I — £ — -L sin’niHH
Si l’on suppose que le module de sinamu soit ~ y on aura
Vf — - - - sin 'amu Samit,
tlx a du
\/dJx — *)(* — P](x — yj vrft * — y)’
l'intégrale (i6j est par conséquent proportionnelle à u.
Les équations f 1 7 j donnent d'ailleurs dans cette hypothèse
y’.= d(x — a)(jr — 3),.v— y)~ — rf(y — *Hy — 3)'sin’<ï«iKCOS’H/n« A ‘amu,
et par conséquent
y — ( 5 — y) \d[a — y) sin am h commit Sam 11 :
x et y s'expriment donc rationnellement par des fonctions elliptiques de u, de telle sorte qu'à chaque valeur de u correspond un seul point de la cuurhe, mais la réciproque n’est pas vraie, et toutes les valeurs de u qui donnent le même sinus d'amplilude et le même produit cosamuSamu correspondent au même point. La somme de trois des valeurs de u qui correspondent à trois points en ligne droite est constante.
Si par le point qui correspond à la valeur a de u on veut mener des tangeutes à la courbe, en désignant par u, lu valeur de u pour le point de contact, on aura
(19) i«, + j C 4- 4*nu 4- anu' y — ■;
C étant la somme constante supposée connue, à laquelle on doit évidemment ajouter un multiple arbitraire des périodes, on obtiendra u, en divisant en deux parties égaies la différence C — a, et parmi les huit valeurs indiquées 1 61 (1 l'équation (igj n’en fournit que quatre.
• 4- au,
ce qui fait quatre points de contact, et l’on obtient les sinus .d'amplitude correspondants (61 1 ) sans extraction de racine cubique.
Considérons la droite qui joint deux des points de contact, par exemple, ceux qui correspondent aux arguments
et la droite qui joint les deux autres points. Ces deux droites iront se couper sur la courbe, car les arguments qui répondent à leur troisième point d'intersection avec la courbe sont respectivement
« C — st L. — a ,
équivalents l’un et l'autre, en supprimant les périodes, à a — au, et correspondant au même point de la courbe. On retrouve ai nsi ce théorème de Maclaurin. qui, étant projectif, s’applique à toutes les lignes du troisième degré :
Si d'un point pris sur une courbe du troisième degré on mène les quatre tangentes autres que celle qui louche ta courbe en ce point , les droites qui joignent deux à deux les quatre points de contact se coupent sur la courbe.
