Abel a démontré le théorème suivant

L'équation de degré n' de laquelle dépend la division de l'intégrale elliptique en n parties égales, peut être résolue par radicaux pourvu que te problème ait été préalablement résolu dans le cas des intégrales complètes l\ <u et îu'y - i .

Désignons en effet par x une racine quelconque

^ r sino/nz,

ou aura deux autres racines

.r, si nam I

c’est-à-dire 503

/ \ Fi : Sinuffll a + ’

xcosam ■+■ sin am v(i — x*

i — k'x' sin’om i a>' v1' — i , ? m' \T— i

xam -4- si nom - v ( • — •*")!< — *'.r’

i — e’x’sin’rrm —

Le radical y i — x1 i — Px1 , peut être exprimé en fonction rationnelle de a- et dey. Si l’on a en effet

P et Q désignant deux fonctions entières de x = xi nam et v la valeur tle si nam u, on en déduit ,

Qrfp p^9 ,

'/■ r </x ity I — rM; I — t>\r

Q’ <tx y'j,-

et celle équation donne \ ( i — jc*j ( i — Px'‘ en fonction rationnelle de x. On aura donc

x, y,(jr).

- I. Cuir* nu, -g

©, et désignant deux fonctions rationnelles de x. On a d'ailleurs

r / Si r / O . ( aw’ J — | \

g, x — q, y,( x ) — sin /7m I a -4- h — u

et ces conditions su lïisent, en général, pour que l'équation soit résoluble algébriquement, en supposant, bien entendu, connus les coefficients de ç, .r et de qui

• . . . . . im' y — *

contiennent ici s\nttm et sina/n — n n

Considérons l’expression

|~ ^ sfè sin fini |

" + 4 ta H

h » fi

où a et fi désignent deux racines quelconques de l’équation

.r" — i rrn;

et supposons que a et ,3 restant invariables, la somme s'étende aux valeurs o, i, 2. ... « — i de p et de </, en sorte qu’elle se compose de n 2 termes; l'expression 2i i restera invariable lorsque u y sera remplacé par l'expression

« + 4 Am 4--*A'*i' , — i ,

où A et A' désignent deux nombres entiers quelconques; le terme général devient en effet

y' nm I

4(£+A)m a(y4-A')fj

et en posant p 4- h — p' . q 4- A' = q

p' et q’ devant recevoir les valeurs A. A 4-1 . ... h 4- n. A', A'-t- i A' 4- n, équivalentes évidemment aux valeurs o, i. 2 n — i, que dans l’expression (ai ) on

devait donner à p et à q; la somme placée entre parenthèses dans l’expression ai)

ne diffère donc de 2(5) que par le facteur cl il cause de «"= i, (3*-=: i les

deux sommes ont même puissance n'rmr. Si doue oii représente l’expression (ai par t

celle fonction de u admet les mêmes périodes que sinomu; elle est donc exprimable (614) en fonction rationnelle de sin amu et de sa dérivée, et elle est de la