LIVRE TROISIEME. - THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

forme

. 1/ sin nm u

lin

D'ailleurs F' u, a, fi ne peut devenir infinie que si l’un îles termes de la somme dont elle est la puissance ntimr devient lui-même infini, c'est-à-dire si l’on a

n ^ 4pw 2 j»' y — i ,

3 /il».

d’où l’on déduit, n étant impair,

n — n !»' v — i ■+■ 3 n/i u — 4p&> — > i/i,i v— i — «' y — i -+- *A',i 4- imilliple des périodes.

La fonction a4 admet donc les mêmes infinis que sinu/iiu, l. doit être par conséquent remplacé par une constante, et l'on a

. n d sin mu n

Un, a, p). P + O- ju i

P et Q désignant deux polynômes entiers en si n am u . On a donc

y a! fil sin an, ( " + + V -» ) , ^ p + Q

d sinmnn du '

Donnons à a cl à fi toutes les valeurs possibles, et ajoutons les équations ainsi formées; quelles que soient les valeurs de /> et i/, si elles ne sont pas nulles toutes deux, le coefficient de

I Il 4 n ',1 30 r, l'y — I

slo uni I T - J-

, ( “ + *pb

sera égal à zéro, car il est le produit de la somme des puissances /> des racines de l’équation binôme par la somme des puissances!/; le premier membre se réduira

donc à n’siniim " ? et l’on aura «

■ ! « V ."/» d sin uni II V . „ -J4

ii* sin «m - V *" ^ /„ - t v " •+■ Q eos uni n A mn n,

et l'on a l’expression d’une racine quelconque par une somme de radicaux. I.e nombre de ces radicaux est — i , et non pas n1. car en prenant a = fi = i la fonction

\’ „ . I « 4 Pi» aqm'd — i \

■ Sin uni I -+- “ -U ’ — " )

sc réduit h la somme des racines, c’est-à-dire '615) à nsinamu, et l'on a par conséquent

^ si n nm u -f. >

t- > , V P- -+- Qm COSOOI U à tint U.

621 . Les fondions P„ et Q„, pourront être calculées comme il suit. On a

(a6) P, -t- y. cosnnid Ak/iim =rX' se 3» siu am ( - -i- ' \ j ,

chaque valeur de m répondant à un groupe de racines a, f>. Or on peut par la formule d'addition (593) exprimer sin<i/n^ -4- -t- 1 ^ en fonction ration-

nelle de sina/n^: par conséquent, le second membre de a6) est une fonction rationnelle de la racine sina/a ^ = x\ mais il ne change pas quand on y remplace u par

«'+ 4* u -t- j/iVy - i, c’est-à-dire x par une autre racine quelconque, et par conséquent, en nommant x,, x2 x„. les racines, il est égal à

fonction symétrique que l’on pourra calculer en fonction des coefficients dc^ 'xy, et de ceux de l'équation.