EXPRESSION DES FONCTIONS SOTS FORME DF. PRODUITS
Première recherche ries formules.
62i. Pour transformer sin.r en un produit <l’un nombre infini de facteurs, nous avons pris I, 40 i i pour point de départ l'expression de sinn.r en fonction de sinar qui forme un polynôme entier; les racines, lorsqu'on y considère sina; comme inconnu, sont données à priori par les propriétés des lignes trigonométriques. Une marche toute semblable conduira à la décomposition de sina/nar en produit d’un nombre infini de facteurs.
On a trouvé fît 5*
ft) <inam[ip -H i) x ~ qx
P et Q étant deux fonctions rationnelles de siuumj-, la première de degré {xp -+- ■ j5, el la seconde de degré -xp -+- i 1 — i; les racines de l'équation P = o sont les valeurs de* si n am .v pour lesquelles on a sinam xp -+- i x = o : il est aisé de les calculer.
On doit avoir
(a/# 4-i)jr = imi -+- xnw'y — i,
m et n désignant des nombres entiers quelconques. On a par conséquent
, , / 7 ni '.i am. i'V-* i \
ia) smiMir sino/w l - — + — • 1-
Pour obtenir les valeurs distinctes exprimées par cette formule, il sullit de faire varier m de i à 4/> -+- 2. et n de 1 à xp - 1- 1 , car l\ '•> cl aw' t étant des périodes, l'addition de 4 p -I- 2 à la valeur de rn ou île xp -4- 1 à celle de n 11c change rien à la valeur de l'expression 2 . Le nombre total des combinaisons ainsi formées est a( xp -t- 1 j*; mais le nombre des valeurs de sinffmx est moitié moindre.
Le nombre des valeurs distinctes exprimées par la formule ' x ) est donc !ip ■+- 1 et pour les obtenir toutes, il est aisé de voir qu'il suffit de faire varier m et n chacun de — p à -i- p.
Sîl 0 DEUXIÈME PARTIE. — CALCUL IXTÈ.fiRAL.
La fonction P est. d’après cela, de la forme
f.sin/r/HA-
sin/imj: — suwrm
?. rfi m -h 2/1 m*
C désignant une constante, et le signe indiquant le produit de tous les fnc-
leurs obtenus quand on attribue aux nombres entiers m et n les valeurs comprises entre — p et -t- p , et supprimant seulement celle qui correspond à m = o, n — o.
qui a été séparée et écrite en dehors du signe JT-
On verra d’une manière toute semblable que le dénominateur Q. qui doit s’annuler quand sin tvn a/> -t- i ).v est infini, est de la forme
cn:,[*»
s i n mu x — si n f/m
en supprimant toutefois dans le dernier produit, qui sansicela serait de degré f 2p -h i), le facteur correspondant à m = o, n . = p . qui a une valeur infinie.
On a par conséquent
(5) siiuu»i(?ji
Up ( , . 2 m w -4- 2 n bt* d — t \
I sin/7m.r -sinam - — ■ I
sin «ni .r sinnni
mu.) -t- 1 an +- i)w' y ■>P-
Pour déterminer le rapport ' > supposons x infiniment petit; sino/n : ip -+- i x
pourra être remplacé par [jtp 4- 1 j x, si nom x paV .r. et les facteurs binômes du second membre seront réduits à leurs seconds termes; on a donc, en supprimant le facteur x.
(li
ir
p întM + 7. n 0) v — i
sin/////
p yP±i
in nm +
La formule ' 5) devient enfin
(7) siiwtm
ni/-
sin nmx
2 m w-r 2/1 oi' y — 1 2 p -4- 1
sin/.
slnffffur
.1 -4- ( 2 « -4- 1 ) rj/ y1 — 1 2 p -4- 1
LIVRE TROISIEME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELU ETIOLES. On en déduit, en posant ( ip -t- i; x — s.
IJ
(Hj sin«m5— ?./>*+•» ) si mtm — —
•in w V — * \
sm a nt —
' | sin ttm |-
2fflU 4-(2« -f- I :«V-I
: restant constant, faisons croître p indéfiniment : si nom pourra être remplacé par ^ ( , le rapport
Miuim
7 ' /i ’ sin fini
a# quel que soit h , ~ pour limite, et l'on a ainsi
snwimc z
[ am « 4* ( */* 4- 1 )g»' S—
m et n devant prendre toutes les valeurs entières positives et négatives, à l'exception bien entendu des valeurs m =<>.« = o qui doivent élrc exclues au numérateur.
625. Nous devons faire observer immédiatement, comme nous l’avons fait (1, 404), que la formule précédente n’est pas rigoureusement démontrée, elle repose en effet sur la substitution du rapport de deux arguments à celui de leurs sinus d’amplitude; or celle substitution n’est permise que quand les variables sont infiniment petites, et l’expression
ne tend vers zéro lorsque// augmente que dans le cas où m et n restent tous deux finis; ces nombres devant varier l’un et l’autre de — p à -t-//. notre démonstration cesse de s’appliquer pour des facteurs dont le nombre est infiniment croissant, et il est indispensable, comme dans le cas où il s’agissait d'un sinus (I, 404), de démontrer à posteriori l'exactitude de la formule obtenue. s
Nous remarquons d'ailleurs que pour obtenir par induction la formule (9), ou ' I . Cntc int. 79
6»i DEUXIÈME PARTIE. - CAI-CL'L INTÉGRAL,
peut assimiler, à priori, si n am z à une fonction rationnelle dont le numéraleur et le dénominateur se décomposeront en facteurs correspondants à leurs diverses racines C’est par des considérations semblables qu'Euler a dé-doit pour la première fois l’expression de siux en produits, et que nous aurions pu écrire de suite la formule (9), sauf à en démontrer ensuite l’exactitude.
Contentons-nous de octle méthode rapide pour écrire les formules
cos ami — JJ*
him; = J"J
( 2 JM -h 1
i)m -f- Sfftt'V — 1
( am -4* 1
imt 1 -t-(»n -I- iJ'ji v — 1
où m et n doivent prendre toutes les valeurs positives ou négatives.
626. Avant de démontrer les formules précédentes, il importe de remarquer que dans les produits tels que ceux qui forment les numérateurs et les dénominateurs des seconds membres dans les formules (9), (10) et (1 1), on doit préciser l’ordre dans lequel sont appelés les facteurs, et la limite peut varier avec celui que l'on adopte. C’est une remarque analogue à celle que nous avons faite à l’occasion des séries (I, 218 ), qui peuvent en restant convergentes changer de valeur avec l’ordre dans lequel 011 écrit leurs différents termes.
Considérons d'abord un exemple fol-l simple analogue à celui qui nous occupe.
On a (1, 401,
et l’on peut dire, sans ajouter aucune explication, que sins-r est représenté par le produit
dans lequel il faut attribuer à n toutes les valeurs entières de a à x , et le produit est convergent quel que soit l’ordre des facteurs. Mais si l'on écrit
(-SH-ï)O*:)-
LIVRE TROISIÈME. - THÉORIE DES FONCTIONS F.U.1PT1QUES. le produit deviendra
.T ( I — JT )( I -4- X
que l'on peut éerirc
le nombre entier m variant de — ao à ■+■ » . Mais sous celle forme il faut préciser l’ordre des fadeurs : le produit n’est plus convergent indépendamment de l’ordre qu'on leur attribue. Les facteurs correspondants aux valeurs positives de m ont un produit infini, il en est de même du produit correspondant aux valeurs négatives, et si l'on écrivait par exemple
l’expression n’aurait plus de sens. Il faut, en cherchant la limite du produit (i4), égaler toujours le nombre des facteurs qui correspondent aux valeurs positives el négatives de m, et si l'on procédait autrement la limite serait altérée.
Supposons en effet que dans le produit (i4 .i on lasse varier m de — p à ■+ -kp, k étant un nombre fixe et p croissant indéfiniment . La limite obtenue en faisant varierai de — p à -t - p étant évidemment Mnj:Jr, 1(! résultat sera
ri-, ,.rv-(-r
Cherchons donc la limite du produit
c’est-à-dire, puisque/) croit indéfiniment, en négligeant les termes infiniment petits par rapporl à ceux que l'on conserve.
Pour trouver la limite de la somme
liiS
considérons l'hyperbole dont l'équation est y = I-es divers termes de ^17) représentent les rectangles ayant pour base l'unité, cl inscrits dans l'aire comprise entre cette courbe, l'axe des x, et les ordonnées qui correspondent aux absrisses p et kp.
Elle représente aussi les rectangles de base unité circonscrits à l'aire comprise entre les ordonnées qui correspondent aux abscisses p -+- 1 et kp ■+- 1 , elle est donc comprise entre
r'Jx = n,
et
ri**' <i£=,pk±i
Jp*., x P*'
La limite lorsque p augmente indéfiniment est évidemment égale à Ik. L’expression {1 7} a par conséquent pour limite x Ik, P tend vers k*, et la limite de l'expression (i5) est
/i'sinr.r
où k est arbitraire.
C27. Une remarque semblable s’applique au produit
TT (m * — )’
4 1 yni'iiA- >«(■>'>' — 1 /
où m et n doivent prendre toutes les valeurs entières de — » à -+• * .
La limite d’un tel produit n'est pas déterminée, elle dépend de l’ordre dans lequel on y fait entrer les facteurs qui le composent. Soient en effet U la limite obtenue en multipliant tous les facteurs pour lesquels les points dont les coordonnées sont m et n se trouvent dans l'intérieur d'une courbe dont les dimensions grandissent indéfiniment, et U' la limite relative à une autre forme de ce contour limite entourant de toutes parts le premier contour, et grandissant indéfiniment avec
UVRE TROISIÈME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES, lui. On aura évidemment
> 1 * \ jmo+jnu'y-i/
le produit J J s’étendant cette fois à toutes les valeurs de m et n qui représentent les coordonnées d’un point situé entre les deux contours. On en conclut
/U' — /Il
an» v — i /
c’est-à-dirp, en remplaçant chaque logarithme par la série qui le représente.
w m=» y. -*-yr ; „-+....
— < a m m ?/( '.i' y — i a •j'î/nM+î«6ily — 1/
Si les conlours limites ont constamment pour centre l’origine des coordonnées, la somme qin multiplie : est nulle comme composée de termes égaux deux à deux, et de signes contraires: celles qui multiplient s’, s*,... sont dans le même cas; les coefficients de sont négligeables, parce que le module de la puis-
sance — 4 de rn',1 -4- n<* y — 1. est infiniment petit par rapport à celui de la puissance — a. On aura donc en général
A étant indépendant de on en déduit
et par la manière d’effectuer le produit on peut par conséquent multiplier ou diviser la limite par un facteur de la forme
