Étudions actuellement la fonction

en y faisant varier m entre deux limites — M et -4- M, et n entre — N et -4- N, M et N croissant l’un et l’antre indéfiniment de telle sorte que le rapport ^ devienne lui-méme infini.

La fonction f[z) ainsi définie satisfait aux deux équations

i -*- a<ul = — f(î),

( ç^î-l-ao>V— ij — — 9(a)c * f

On a en effet

9(i -i- i#i = |j -t- in) JJ ^

Mais on a identiquement

2mw + 2fl«y — | \

a (m 4- i)w -+- înu'v'-i

a(m + i)u -4- anm' y — i ) imu-MimV-i

D'ailleurs, pour m = : — i , n = o, on a

iMH + aw'ÿ— i •*

dont le produit par s -i- i'.\ est

\ au/

et l'on a

<f[z + iu)=-

La limite de l’expression

I l r a ( m -4- i )oi + mu'/-! I

*■*[ imu + Uii'if-i J

a (m -i- i)o> -+- a nu'

V' — ' J «idu+umV-i

intfii + a ntii

est indépendante de z ; nommons-!» A, nous aurons

On en conclut

(ao)

?|l + au) ?(*)

^ 2 /// 6i 4- 2 tlW y — i

Lorsque m varie de — M à -+- M, et n de -Nil + N, les produits qui tigurenl au second membre île ' ao ont un grand nombre de facteurs communs; il reste, en les supprimant.

it|.+ 1 — =1

•**\ — iMu + iAsi'ÿ—i/