LIVRE TROISIÈME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

les produits étant formés par les facteurs qui correspondent aux valeurs de n comprises entre — N et -+- N. Mais N étant par hypothèse infiniment petit par rapport à M, les deux produits ont évidemment pour limite l’unité, et l’on a

<j,(a -+- îiw)= — A s

l’our déterminer A, supposons ; = — u, nous aurons (ai) — <•>);

et comme le changement de s en — - ne fait que changer les uns dans les autres

les facteurs du produit e3t U|ie fonction impaire de :, et l’équation (ai)

1 * donne A =* i; on a donc enfin

629. Remplaçons en second lieu z par ; ata'y' — t,on trouvera, absolument comme ( 628 ,

. r- TT «+ — , -. Tr - II i«m + î(»»+i)»V-i.

2 nito -4- 1/16» ÿ

Dans le second quotient qui ligure au second membre, on ne doit pas supposer au numérateur m = o, n — o, ni au dénominateur m = o, « = — i , et pour tenir compte de cette restriction, il sufiit de supprimer le signe — , qui est détruit par

le rapport = — i; on a donc, en supprimant les facteurs communs,

— Ub/ y — 1

sji + j»' y1 — i )

i)m' v — * J ri

2»lM+î(N+l )«' \ — I

TT \ —

m variant entre les limites — M et h- M qui sont infiniment grandes par rapport U N, dont la valeur fixe doit elle-même être considérée comme intinic.

Or on a

2m a *f «(N + i)»1 v amM + *(N -f i)«a'^-i

i z a m ta — 7 N ta1 ^ — i

a m ta — 7 N ta* v'— i

2 m ta

Z — 7 No»' J — 1

2 mot

et pour m = o

a(N-+-Qwÿ— i 7 N &»' ^ — I