s(N + l)w' V — • 3 — a No»' y — i

et par conséquent

9 ' 3 -f- ar./ v — < )

c’est-à-dire (I, 404)

: -e a ( N ■+■ i )«' V— • J ZI

s + nN+ i)>.iV—

(î — aNo>-v~,Ol

z — -iN'.iV- i '

/ . ■ — siu 3 -4- a ( N •+* i )&/ v — i -

gin ' s — a N «' ^ — 1 ) — ao»

ou, en remplaçant les sinus par leur expression exponentielle.

9 z H- ar./ y — i J e

«ÜM'v'-i 3-, S .V-i

e ** e * — fi « “

e * devient nul à la limite, et Ton a

oi 3 -b 7tpt’ ^ — il

(aa

ce qui est la seconde formule (i«i annoncée (028;. 630. Kn considérant de même l'expression

4(i) = TT['+ * —,—r - 1*

1 * L 2»IW + (î« + l)« I — IJ

dans laquelle m varie de — .M à -t- M, et n de — N à -t- N, M et N grandissant indcliniment de telle sorte que le rapport ^ soit iiitiniment grand, on trouvera par

LIVRE TROISIÈME. - THÉORIE DBS FONCTIONS EI.UPTK.IIFS. ries calculs loul semblables

^ 4 iu'i/ — i) — (|/(*)c“c “ .

031 . Les fonctions ç ' z el $(z) sont |i«>rio<li(|tif>s, et elles ont pour période commune 4&>. ï)e plus, d'après les équations fit)} et (a3), le rapport | “ n’est pas

altéré quand on augmente s de aw'y — i . et ce rapport a les deux périodes 4» et a«'v —i comme la fonction sinamz. De plus, ce rapport est nul [tour les valeurs de la forme

!=>mii + an «■' y — ■ ,

et inlini pour

J = î/Wm + ( ift -4- I } W y — | ,

m et n désignant des nombres entiers quelconques. Les deux fonctions J- ' j et si nam a, toutes deux doublement périodiques et toutes deux bien définies, ont donc les mêmes périodes 4 a* et a ai' y'— i ; elles deviennent milles et infinies pour les mêmes valeurs de la variable, et ne peuvent par conséquent '542) différer que par un facteur constant, en sorte que l'on a

sinant : =C ■— C •4(3)

ni 1-t- * )

ni- -

aniat -t-(an + i)u' y— T J

cl le rapport -nn”'a devenant égal à l'unité pour ; = o, on a enfin C = i . Il no

faut pas oublier que dans le second membre de f a4 ) les produits doivent s'étendre aux valeurs de m comprises entre — M et -t- M, et à celles de n comprises

entre — Net ■+■ N, M et N augmentant ensemble suivant une loi telle que ^ devienne infini.

Les formules ho), h i ^ qui représentent cos arn : et A aniz se démontreraient absolument de la même manière.

Transformation des produits doubles en produits simples.

632. Reprenons la formule (a4) que l'on peut évidemment écrire

TT(, - —

\ ■+• a /if.» ^ — i /

1 * l am<w -Man -t- 1)*/ y— i J