H II

est un nombre entier; on devra poser dans ce cas

ii.r " 4 b z.

57. Lorsque l'une des conditions d'intégrabilité est satisfaite, il est presque toujours plus élégant d’intégrer la différentielle binôme sans changer de variable, et à l’aide des formules de réduction démontrées (26), qui s’appliquent quels que soient les exposants m, n, p, entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs.

En posant a 4- bx" = -, 011 a trouvé

"si"-' 111 — « <1 /'

ni 1 np ) b m -i nj> b J

• z>" dx.

Si — est un nombre entier et que n soit positif, l’application répétée de celle for-

mule ramènera l’exposant m — 1 à la valeur n — 1, et immédiate, car on a

I x" ' dx ( n 4- b. r" f

li i-l-/ia‘ "

nb(p 4 1

l'intégration sera alors

Lorsque m est de signe contraire à n, ou fera usage de la formule

i?) j x~ ■ — ; 111 4- 11 + nu I " ' z' dx,

J ma ’ ma J

dont l’application répétée ramènera l'exposant m — 1 à « — 1, en supposant toujours, bien entendu, que -’1 soit un nombre entier.

Il faut observer toutefois que les formules (ij et (a) deviennent illusoires, la

UVIIK PREMIER. - INTÉlillAI.ES DÉFINIES ET INDÉFINIES, première lorsque m + np = o, et la seronde lorsque m = o, et il faut par conséquent que ces conditions ne soient remplies pour aucune des intégrales successives auxquelles conduit l'application de la formule.

Si par exemple on avait l'intégrale

l'application répétée de la formule (a) ramènera successivement l'exposant de x qui est — 10 aux valeurs — 7, — 4 et — 1; mais arrivé là il sera impossible de passer à l'exposant -1- a, car la formule (a) ne s’applique pas au cas où m — o; et pour intégrer la différentielle

llx y IJ 4- bx

il faudra la rendre rationnelle. ,