LIVRE TROISIÈME. — THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES
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638. Si dans les formules (a3) et ( a'i ) on remplace ,r par .r -+- «'y'— i, on trouve, comme on devait le prévoir (628 ;,
(î5) 0(*-t-a«'VC:ï’)= — -e “©(*)“- e“ 0(x),
(a6) Il { j -4- iu' v — 1 ) — — -* " H(x) = — k“ H{x).
Les formules (i) et (a : donnent enfin immédiatement
(a8) II'x-4-au) = — H(x).
La comparaison de ces quatre formules avec les expressions (i/J), (i5), (iG) met en évidence la double périodicité des fonctions elliptiques, ün voit, par exemple, par les formules (i.'ij et(a5), que x augmentant de au' y'— i, le numérateur et le dénominateur de sinam.i- sont multipliés par un même facteur, et que leur rapport ne change pas; l’addition de au à l’argument change au contraire le signe du sinus d’amplitude sans en changer la valeur.
Développement en série (les fonctions 0(x) et H(.c).
639. La fonction 0(x) ayant pour période au peut être considérée comme une
fonction bien définie de e “ . Si l’on pose en effet
A chaque valeur de s correspond, cela est évident, une seule valeur de (S, et un nombre infini de valeurs de a différant les unes des autres par un multiple de au, et par conséquent une seule Valeur de la fonction 0(x) qui peut être regardée comme une fonction bien déterminée pour toutes les valeurs de s, à l’exception des = o et de s = ac , elle peut donc (534} se développer en série ordonnée suivant les puissances positives et négatives de z, c’est-à-dire ( car cela revient évidemment au même) suivant les sinus et les cosinus des multiples de Posons donc
nu
0(.r) est une fonction paire qui ne change pas lorsque .r se change en — ,r, on en conclut
Si dans l'équation (t»5j on remplace les deux membres par leur développement déduit de la formule (ag), on obtiendra la relation suivante, qui doit avoir lieu quel que soit x.
I tw«V- ' e
et en égalant les coefficients de e u dans les deux membres
c’ est-h-dire, it cause de e " = q,
Ions les coellieients s’expriment donc en fonction de A0. et l’on a
***y~3 ItirV-t \
— (je - -4“ q* p - —q*e - •+•.../,
c’est-à-dire
, ...../ TTjr . îüi 3 r.x , ânx \
(3o) 0(x) = A. ( i — aocos — + 10 ’cos ao c os l-ao''cos ...)•
On trouvera de même, en remarquant que H(xJ est une fonction impaire,
, . / ! . tx ; . 3rrx it . 5ttx -/ . ^tx \
(3i i II ,r i = B, o* sm n sin 1- o sm — q sm ~ h . . . ) ;
' ' aw ' xh> 9w aw J
les constantes A0 cl J30 restent seules à déterminer, et comme l’une d'elles est arbitraire, à cause de la constante C introduite dans la définition des fonctions II cl 6, il sullit de déterminer leur rapport.
C’est la formule (a3)
qui nous permettra de le déterminer. Si, en effet, dans cette formule on remplace
