LIVRE TROISIEME. — THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. (US
les fonctions II (x + >o\ — i ) el fc* x par leur développement en série ordonnée
suivant les puissances de e *” qui se déduisent des formules (3o) el itj, en y remplaçant le sinus el le cosinus par leur expression sous forme d'exponentielles, on aura
Vu'
el, en remplaçant x par x 4- a' y — l. remarquant que e “ = q.
Il x -J- '«V— i ) =Y — — *( — 1
* • »l* ♦ lie x V -
et la comparaison avec a i i donne
A0 reste arbitraire : nous le prendrons égal à l'unité, et nous aurons enfin les deux séries toujours convergentes pour les valeurs réelles ou imaginaires de ,r,
, ex , arx . 3sx
( 34 ) fc)(x) = 1 — iq ros — 4- a q‘ ros 2 </ cos 1- . . . ,
W 4l bï
.1 ■ ■ /ii îtr ! ■ 3îtx V . 5rx \
(35) H x)— j « sin a sm - 4- q sln
V a'" 2m ' au /
640. Nous devons chercher quelle valeur l’hypothèse A0 = 1 impose à la constante désignée par C '636j. Si l'on désigne cette constante par f (q), nous aurons,
en égalant les expressions (1) et (a) de j el h(2*'1 j aux séries (44,
el ’fÜ;. oii l'on remplace x par-—'1 ■
, 3C| q(q )(i — *q COS2X4- y*)( t — aj’cosax 4- y*)(i — ai/'cosax -1- fl'*). . .
— 1 — itj eosax 4- ay‘ cos4x — iq’ cosCx + nq'“cosSx — . .
( 37 ) 9(^) sinx(i — ■i.q’cosi.x 4- q‘)(i — iq' cosax -4- q')(i— tq‘ coS2x -4- q"). . .
— sinx — f'sin3x -t- q‘ sin5x 4- ... -4- ( — i rq*'**'1 sin(an 4- i)x . .
En multipliant ces deux équations membre à membre, un a, après avoir rem-
ou;
placé q par q1,
( 3B) [?!'/’);' sinjr(i — a q' eosax 4- </‘)(i — tq'eosix 4- q’)[ •— iq‘ cosix + q" j . . .
— (i — a q' cos a j- + tq‘ <os.j x — . . . )'sin a: — q‘ sin3ar -I- q" sin5 .r — . . .
et, à cause de (I7), le premier membre peut être remplacé par
f Ç/( tf* il*
(39) y( ~) is*n;l — 7' si® 3* + 1 )•//">"*" sin(a» 4- ij* -+- . . .].
En effectuant, dans le second membre de (18), les multiplications indiquées, et remplaçant les produits de la forme cos 2/) ,r si 117.1- par des sommes de sinus, on obtiendra une série de même forme que celle du premier membre, et dans laquelle le coefficient de sin.r devra élre ^ , cherchons ce coefficient. On a
s(— i)"+" j,",+”(*+llC0!iîn, a:sin (an 4- i)x
= ( — 1 )“'*'* 7",+1*<"4'',sin ( am 4- an 4- i)x — sinfam — an — i)x,
ce qui ne donne de terme en sin-r que pour rn = n, m = n 4- 1 . Ces termes ont donc pour coefficients q‘t',liH'-'' et Lorsque n est nul les deux termes en
sinx deviennent asinx et iq% sinx, mais il ne faut prendre que la moitié du premier, parce que dans le premier fadeur du second membre le terme général iq’1"' zwinx doit être réduit à l’unité pour n = o; le coefficient de sinx est donc
et l’on doit avoir
( 4o ) q (q) - 1 + 7’ + 7* + • • • + qKr*' > 4- ... ;
mais la formule (I7 , donne, quand on y fait x = (|,
et des équations (4o) et (4 ■ ) un déduit
Si l’on fait
on aura
LIVRE TROISIÈME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES, et par conséquent
lit.
On en déduit, cetle équation ayant lieu quel que soit q,
F(q) Ff £) Ffî'J F(?“J
Or q étant plus petit que l’unité, la limite de ces fractions est c'est-à-dire
l'unité, et l'on a
FJ l) ,
On en conclut
et par conséquent
(4;) j =0 - 9’)(,— 9* K* — g' açcosa jc -+- ÿ“)[r — zq'cosix -4- q’i
Si l’on fait x = o.
mais on vérifie aisément, en chassant le dénominateur, et après des léductions évidentes, que q étant plus petit que l'unité, on a
donc
c’est-à-dire ;634,.
L’équation (a3j donne
t) = ^îq ' &{o) = \l—i q
641 . Connaissant 0(o), il est aisé d’en déduire 0(«) et H(«). Ou a en effet (636;
. ,r, 0(je -+- Mi
ilamx =iA — 7^7 — : — 4
cl en taisant a- = n, Sanu tlevienl égal à l'unité, cl par conséquent
I,' équation
cos tint j
donne également en taisant x =t o
H(jt -4-
çr~r ’
II(m) = I
On peut calculer aussi la valeur de la dérivée H'(a-, quand on y fait x = o. On a
Mil >!»(.*= .Ti—’
par vonséquenl
(53) ll(j,)=^'sinirauH(j).
et en prenant la dérivée des deux membres
( 54 ) H'(jr)= y A cosrtwjr \amx 0 i) + y I siniimA0'|A .
En faisant x = <>.
(55) ll'(<>) — yÀH(o;.
Quelques propriétés de deux Jonctions 0(j?) et H(x).
642. La méthode suivie pour développer en série les fonctions H'.rj et H .>■ est susceptible de généralisation. Soit 9 Ça-) une fonction de .1 satisfaisant aux deux équations
(56) ’i(x ■+ xr.< = ç(x),
On peut, sans autre définition, la développer en série ordonnée suivant les puis-
sances de e " , et dans laquelle resteront seulement deux coefficients arbitraires Si l’on pose en effet
* f 4 l 1HA-Ÿ-*
?(jr) = A. -4- A, e N +À:f “ +...+ A„e “
