LIVRE TROISIEME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. lit
t-ii exprimant eonime <>39 ) que le développement satisfait à l'équation (57), on trouvera que les coefficients s’exprimeront tous par deux d'entre eux, et que par conséquent la fonction hien définie qui satisfait aux équations (5G). (57} ne contient dans son expression générale que deux constantes arbitraires. Mais, d'après les propriétés des fonctions 0 .r) et H '.r ,
! 58 9[.r) = Afi(.r)'+ BH(jr)'
est, quelles que soient les eonstanles A et B, une solution du système des équations (56) et [57), dont elle est par conséquent la solution la plus générale.
Toute fonction qui satisfait aux deux conditions (56) et '57) est donc nécessairement de la forme f 58).
Les fonctions B'f'x) et ll*(.r ; gonl évidemment dans ce cas, et l'on doit avoir par conséquent
(5çj 0, (*)’— A 0(x}'+ Bll(x)',
{<*>) It,(.r)»= A’0{.r)>-> B' Il (•r,1,
comme l'ont montré déjà les équations {17 et (18) qui font connaître les constantes A. H, A’. B'.
IU3. Le produit H'x + — a) satisfait, 011 le déduit aisément des équa-
tions ( 36) et ( 38 , aux deux équations < 56) et (57). On a donc
(61) ll(x — n) H{ar -t- a) = AH(.r J’-e B0(jt)!,
A et B étant indépendants de x.
En faisant successivement x — o, x = a, un en déduit
on a donc
et par conséquent
- tl>»= B0*(o),
0 = AH>(u)+ B0>(«);
H>(*) 0’]<O 0]fn) 0*( o) ’
H’(jr) 0!( 11) — 0’i>) tl’( a)
En changeant dans cette formule x en x ■+■ m'v' — 1, I. Cale. lut.
en ayant égard aux for-
mules f a3) et (a/J). on en déduit
0(jt 4- a)0(jr — a)
Si l’on fait a — x, on trouve
0(axl —
0'(x) — II*(j ' H o
Introduction de 0(x) dans l’expression de deux intégrales importantes.
(>4i. L'intégrale j r/ç\ i - k‘ sirr? a été nommée par Legendre intégrale elliptique de seconde espèce.
Si nous posons
Ç? rfç (J
o V 1 — i’sin’o
nous aurons f 592 j
cl par conséquent
y - aniit.
tlv
ilu
V'i — A’sii^ y,
i Gti) I d sy i — A'sin’& = / </«( i — /.!sin’^) = f du{ i — A’sin ’mh|
= « — A1 / sin’o/n «</«.
do
La fonrtion elliptique de seconde espèce que Legendre nommait E çj se ramène donc à l’intégrale I sin 7amudu, que nous allons exprimer à l’aide de la
fonction 0.
Reprenons les équations ! aô) et (37)
0(i + su) — 0(.r ),
H t + ju y — 1^ = — e “ o(xi.
ün en déduit . en différentiant par rapport à x après avoir pris les logarithmes, et
