TRANSFORMATION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

Transformations du premier degré.

646. Lfls fonctions si n amx, cosamx, A tint x . considérées dans les chapitres précédents, ne dépendent pas de la seule variable x, elles contiennent en outre le module k, à chaque valeur duquel correspondent des formes différentes. C’est ainsi par exemple que pour k — o, si nam. r et cos amx se réduisent à sin e et à eosx, et A amx » l’unité.

Les résultats importants auxquels ce chapitre est consacré sont relatifs à la comparaison des fonctions qui correspondent à des modules differents.

Considérons l’intégrale

On a

x — sinu/ii n.

Posons

(al

nous en déduirons

vO -.*•’)(< — 0,!)

et si l’on pose

(4) (i-x'Ki-A»*’)

le second membre de (3) deviendra

ii/: v

i/fl — X’)(| -

- a' X) l 3'+ ?.*’ ) ( ' + jà'— ).*' ) ’

* Hh 3 .V

I.IVRF. TROISIEME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. On aura par conséquent

il y t dx

v( vO — x‘),i —

et comme pour x = a on a v= , i

Çf ily l“ dx

* Jm V(i — >-,)0 — il v'i I — X' • ! —

En posant donc

CfS.%

J a v(i — r’io — X'.r’)

I djr

Jo V ' .» '

on aura

el l'équation ( aj est une relation entre sinamu (moi), k et si nom 'tu -+- a) (moi). X).

647. On trouve aisément toutes les solutions de l'équation \ ) en écrivant que les deux membres s’annulent pour le/ mêmes valeurs de x, et l’on est ainsi conduit aux solutions suivantes :

X = ± Ir, y~ ± .r. » t = :fc i ;

* = ± jv— * > +

X — ±^» y ± Ax,

y — ± -» e = zt h :

, i — y A- i ±ryi-