LIVRE TROISIÈME. - THÉORIE DES FONCTIONS EU.I CHOIES

d’aprcs la seconde des équations 'j ’î J . le trinôme a -+- bv* — ky doit être un carré parfait. On en conclut

et

la racine - est égale à v/y c’est-à-dire à y ■ et l'on trouve

dx (X ' + i ) dy

et comme y et ,r s'annulent en même temps

% ( ■ — jc’ ,1-k‘x') Jo >-k',r i

les modules X- et k' étant liés par l'équation ( \- identique à relie olilenue Oi52).

Théorie {V 4 bel.

CitiO. Abel a rattache très-ingénieusement la théorie de la transformation au principe de la double périodicité, en montrant qu’on en peut déduire, à priori, en quelque sorte, la connaissance îles cas dans lesquels rlle-esl possible, la forme des équations qui y conduisent et. en suivant jusqu'au bout les conséquences des principes, Information complète des équations elles-mêmes.

Considérons l'équation.

-t- hl ,r> o ’

où les polynômes P el Q sont supposés premiers entre eux. A,, et n'étant pas tons deux égaux il zéro, nous dirons que la transformation exprimée par l'équation I i59J est de degré (u.

A cIi»(|hc valeur de.r. d'aprcs la relation fit) . correspond une valeur de v. mais il chaque valeur de v correspondent a valeurs de a- généralement inégales. Soient j> et .iv deux quelconques de ces racines, elles doivent toutes deux satisfaire à l'équation

(i — y‘ (■ — î.’r' i — jt%(i — **jt»j*

et l’on a par conséquent

dxr dz f/ty

V { f — jr/ ) ( I — /« 1 J’;' I y i » — Xr>) » — /. : .r ]

Si donc on pose et par conséquent

on aura aussi

xe — si nam u ( moü. !» .

. dr*

•lu -

i i xl i - k'xl

et par conséquent

•ty — sinonc jiii|,

rj. étant une constante.

On peut écrire simplement

car si l’on prenait on pourrait écrire

.«y- si n n/n (« -i- a).

.ty ~ sinnm a — n .

x?-- sinnmfau — » -4- «)= siiinmfn -+- a' . a! étant une constante égale à »'.> —

On voit donc qu’en exprimant l’une quelconque des valeurs de x parla formule

,r sinnm n.

lotîtes les autres seront de la forme

sinnm [ n -f x .

l’argument u étant bien entendu une louetion de v, et * conservant pour chaque racine une valeur ronslanle qui n’en dépend pas.