LIVRE TROISIÈME. - THÉORIE DES FONCTIONS KLUITIQUIS

On aura par conséquent, quel que soit y.

y - i(sinrtiHH). -I sinarnf» -+- */’,

et par conséquent

t}>{sin<imr<) — j<(sin«mi{ h -i- a) .

Cette équation étant satisfaite quel que soit a, on peut y changer « en u + a. en u 2a On aura donc

•j/(sinam«) •!; sinn/nf« ai — '}/ sin<(/»(« sa — . - y sin nnt[ u + jix )],

el. par suite, quel «|uc soit le nombre entier />.

ii sin«i»i n ' — sinom(« + /<a' .

Les racines de l'équation

étant en nombre fini, it faut nécessairement que pour une certaine valeur h du nombre />, on ait

sin «un (# + ij)::sin mil u.

cette équation devant avoir lieu quel que soit n. h y. est une période 597

j Hl M I- 2 II (il' \ — I ,

et l'on a par conséquent

Si li est le plus petit nombre entier pour lequel cette condition soit remplie, on aura pour chaque valeur de y, h valeurs distinctes de .»•

x, :: sin «min, x, — sin mu « -I- a ;,

jj =• sin.mi u -+• £ A — i a .

Si le nombre h est égal à l’équation y .j. x n’a pas d’autres racines. Si au contraire h est moindre que u, on pourra prendre une racine «■', distincte des précédentes, et si l’on pose

x, sinon/»',

on aura les nouvelles racines

x’, - sin «on (n' -b x x', — sin um[ n* -1 .• x ).

. j‘A = simiMi t n' r- 1 A — i)at

«7ï DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

Os h racines sont distinctes des précédentes, car si l’on avait

sin nm(u' -Y- q' — gin am it-t-qz),

on en déduirait, en négligeant les multiples des périodes.

li s'obtiendrait donc en ajoutant à u un multiple de », et miia/hh' ferait partie du premier groupe.

Si a h est égal il a, on a trouve toutes les racines; sinon on formera un troisième groupe de h racines, puis un quatrième, etc., cl l’on voit que h doit être un diviseur de a.

661. Nous ferons connaître suffisamment l’esprit de la méthode, en nous bornant à examiner le cas où l’on a h = pt, en supposant en outre que fi soit un nombre impair 2/1 ■+■ 1.

L’équation

, , A, •+■ A, x -s . . -h A»xi* y— Vl-rJ— j, + B,ar"+.. .+

a dans ce cas pour racines

où

r, — sinam u, x, - sin ttiu h + x).. . . xf — siinun «- t-(u — i)*j.

4 mu -t- mut y — 1

Cette équation peut s’écrire

Le produit des racines est

X, . . Xji*

On 1» ti définît pour v une expression de l:i forme

«' -f fl.r, i’, . jr4 U -+ /#x,x,. . . x.

Le second membre peut s'exprimer en fond ion de la seule racine a*, : on a en effet, u.y. étant une période,

x^, = sin am ( tt ■+■ f>z),

xK />4., =; sinon* [ f# -t -{{/ — p)a] =: siiutw {/< —•//*},

LIVRE TROISIEME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. oii en conclut aisément 593

sinvmi u — sin ‘ttmpa

i — A’smVmi/f sm amp z

el comme si na/ww esl égal à «r,, en posant suxampa = <

^Vw #+t / , *

et

r, ^ { ï'e^O = *{Xt)’

par conséquent

^ rt'+fly(X|) P

x, désignant ici l'une quelconque des racines, l'équation ;'5a), si l’on y remplace x,

par x, r pour solutions x,, x, r,,, et l’une quelconque des racines étant

représentée par sinamu, les autres sont

sin«m(« -+• *1, sina«/( « -+• iz] sineoi | u ■+■ ( fx — i;»;

si la première était sinamfu ■+- et). les autres seraient

sin am («-*- **), sin«m (« + 3al sinnni « + (« — i)a] el sinii«i(s -s ujssinmiin;

il n’y aurait donc rien de changé.

662. Il reste à déterminer les constantes a . b. a.', //, de manière à satisfaire à toutes les conditions du problème.

Pour que la substitution

donne

</>• tix

on doit avoir, comme le montre la substitution directe,

/„'/0 „</PV

et par conséquent le produit

F. Cale. int.

( AUXI. INTfir.lUL.

•;ti

DI-I'XIKMF. PARTIE.

doit être divisible par i — x3 i — l'a-'- ; H donner pour quotient un carré parlait. Cette condition est d’ailleurs su II i sa nie : on peut le prouver en reproduisant la démonstration île Jaeolii donnée fi58 : nous avons donc seulement à déterminer a, b, a', b‘ de telle sorte ipi'ellc soit satisfaite.

L’équation

ayant pour racines

on doit avoir

I* — Qy = Afx— r,)[x — .r,). ..(x — xf).

A étant indépendant de x et égal au coellicient « — by de la plus liante puissance de cette variable dans le premier membre. Mais on a

(P -Q’iO’P*— Q!) : p — Q) (P -+- 0)().p — 0)i>p •+• y).

Ce produit doit être divisible par (i — x*) i — A’x3 , et s’annuler par conséquent pour x = ± i , .r = ± } ■ Si nous remplissons celle condition en faisant en sorte

que P — 0, f‘ -t- Q. /.P — y cl XP -I- Q soient divisibles respectivement par i — x, i -t- x, i — Ax . \ + kx, c’est-à-dire en faisant en. sorte qu'aux hypothèses

v = i . y = — t, y — y — dans l’équation (54.;, correspondent pour x,

les valeurs ■ , — • * 7 ’ — /, ' ces conditions détermineront a, b, a', b’. L'équation (5a,. donne en effet, en remarquant que ^{x} est une fonction impaire,

- O j II

i io(T)’

et