LIVRE PREMIER. - INTEGRALES DEFINIES ET INDÉFINIES
Quelques intégrales auxquelles ne s'appliquent pas les méthodes
précédentes .
65. Non-seulement la différentielle d’une expression algébrique est toujours algébrique, mais les fonctions qui contiennent des logarithmes et des lignes trigonométriques inverses peuvent, dans un grand nombre de cas, avoir une différentielle algébrique. Le nombre des différentielles algébriques intégrables est par conséquent infini, et la différentiation est un moyen d'en former autant qu’on le voudra. Une telle méthode, on le comprend, n’aurait rien d’instructif, el nous nous bornerons à indiquer quelques cas simples dans lesquels des transformations élégantes, mais toutes spéciales, permettent l'intégration dans des cas auxquels ne s'appliquent pas les règles précédemment indiquées. Soit la différentielle
Posons avec Euler on en déduit
Jx ( I -+- X‘ ; (i — x'j v 1 -I-
X va
él+A’
, , dxqïii + x1)
dP . <lx ( I ■+- s ' I y a + [i — x’) Ji + x'
et par conséquent
f d*A'+* L = 4 = L t(p + jT+p')
J( i— *’) v'i+a* V^JV'+P1 V2 66. Soit encore la différentielle
ÿa \ 1 — •*’ I
dx( i — x‘)
(i •+• x‘) yT + x‘
Si
on en déduit
et enfin
. itxl i — X7 ] J 7 1 ~ (1+ x-y
dp dx( i — x'J y2
" d.r [ i — x- ( 1 + X' ) Vl + x‘
i . i , x dt.
■ - are sin p are sin - — — •
ya y'a i -*-x
Réduction des intégrales elliptiques.
67. Quoique l'on puisse former de nombreux exemples analogues à celui qui précède, l'intégration des différentielles qui contiennent sous un radical un polynôme de degré supérieur au second est en général impossible. Les intégrales de cette forme ont donné lieu cependant à des travaux considérables, et les géomètres les ont réduites à un petit nombre de types dont l'étude approfondie a créé de nouvelles fonctions simples acceptées de plus en plus dans le calcul, et avec grande raison, au meme titre que les sinus et les logarithmes, et réduites de même en tables numériques très-étendues et très-exactes.
Si l'on désigne, pour abréger, par R le polynôme du quatrième degré
x •+• $x 4- yx‘ + 3x‘ -i- ix‘,
les puissances paires de y R étant rationnelles et les puissances impaires contenant y R en facteur, toute fonction rationnelle de x et de yR peut être mise évidemment sous la forme
P + QyK P+Q’ y R
où P, Q, P', Q' sont des fonctions rationnelles de x. On peut d’ailleurs, en multipliant les deux termes par P' — Q' yR, rendre le dénominateur rationnel et mettre l’expression sous la forme
M+NyK.
L'intégrale / M<£r peut toujours se calculer sous forme finie, et l’intégrale h élu-
