LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFÎMES ET INDÉFINIES

(lier est par conséquent

NRrf.r

VH

SS

le produit NR désignant une fonction rationnelle de x.

08. Nous montrerons d’abord comment une substitution rationnelle peut transformer la différentielle précédente en une autre dans laquelle ne figurent plus sous le radical que les puissances paires de la variable. Le polynôme R peut toujours, on le sait, se décomposer en deux facteurs réels du second degré. Soit

Posons

R = [(* — ni p -I- N] K x — j»)’ •+■

on en déduit

Pour que dans chaque facteur de l’expression de R le terme du premier degré en y disparaisse, il faut et il sullit que

t rs (m — fi)' -t-(p — r)(T— s) N = o, | pa(m — p): + (p — r)( or —s)v = o;

on en déduit immédiatement

lin divisant la première des équations ( 3) par oa et la seconde par rs, puis remplaçant le produit £ ■ * par sa valeur (4), on trouve

s N 1- r + (m — nf

7 N + v -t- (ni — u )’

s ~ FT~

Connaissant la somme et le produit des deux rapports et y on en déduit leur différence, et en posant

on a

Pour que r et * soient réels

quemeot

A = [( ni — fi/ 4- v — N ]* 4- 4 ( "• — (i)’ N = [(ni — p )‘ 4- N — » V 4- 4 ( m — ,» l’ v.

, il faut et il suffit que A soit positif; or on a identi-

Si N et v sont tous deux positifs ou que l'un seuleineut le soit, l’une de ces

formes montre que cette expression est positive et que par conséquent

sont tous deux réels. Ces deux cas sont ceux où deux racines au moins de l’équation R = o sont imaginaires.

Considérons enfin le cas où N et v sont tous deux négatifs; on a identiquement

ou

A = i(m — fx)’4- N 4- » 4- a y N» J ^(m — p)' 4- N 4- v — a y'N’vJ,

A = (V— N ■+■ V— »)’J fl»' — F)1- y — N — V— K/'j-

Mais en nommant a, fi, 7, d les racines de l’équation R = o, on a

et par conséquent

ïS - •

c’est-à-dire

A = («-é)(P-y)(«-y)fp-4».

a et fi étant les racines du premier facteur de R et 7 et d celles du second. Comme ces quatre racines sont réelles, on' peut les grouper comme on veut pour former les deux facteurs du second degré et faire en sorte, par un choix convenable, que A soit positif.