LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFÎMES ET INDÉFINIES. S

cl l’on pourra toujours choisir l’ordre de grandeur de a, y, <?, qui évidemment est arbitraire, de manière à rendre les seconds membres positifs et par conséquent

les rapports -, j!- j jf réels. En adoptant pour j? et k les valeurs déduites de fia,, les deux équations (i«; fournissent la même valeur de .t pour les quatre hypothèses v = :£ i , y = ‘t- j, • et l’on en conclut aisément qu’elles sont identiques. La troisième des équations ( ia} donne

On pourra, en adoptant le signe -t- ou le signe —, avoir à volonté X- < i ou k > i . Les équations (10) donnent, par la différentiation.

B dy A i t )

I) dr

En multipliant les équations (i3) membre à membre et divisant leur produit par celui des équations fin , il vient

, fp — «)(c — y) dx‘ dy'

4 X’ (* — «h*— pu*-/)!* — à) (i — r?)(i — X’.»")

et la différentielle

dx

se trouvera ainsi ramenée à la forme

M dr

vf* — y I-— X r ;

M est une constante, et le signe -t- du facteur sous le radical convient au cas où i'/3— a) !d — y) est positif et le signe — au cas contraire. On pourra d’ailleurs disposer comme on voudra du signe de ce produit en choisissant l’ordre de grandeur des racines désignées par a, tS. y, à. Si, par exemple, a et |3 sont les deux plus petits et y, â les deux plus grands, les formules fia} montrent que les seconds membres de f 1 3) sont réels et les signes des différences |5 — a, à — y restent arbitraires.

70. Il résulte des paragraphes précédents que la différentielle

dx

vit’

fifl DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL,

oit R désigne un polynôme du quatrième degré, pont dans (ous les eas être remplacée. à l'aide des substitutions réelles, par une autre de la forme

V(L-Mr';iL'- M'j-)'

On doit, suivant les signes de L, M, L', M', distinguer plusieurs cas : Lorsque L et M sont de mêmes signes ainsi que L' et M', on peut poser

et la différentielle devient