M L ^ LM’ ML
et la différentielle devient
y— Mtf V(iT- **)(! + £•*>)
Si enfin les rapports et M, sont négatifs, on posera
-ïr-*
et la différentielle deviendra («')
71. Les trois différentielles (i5), (i(i), (17) peuvent d’ailleurs être ramenées h
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V Ml. N i - i • K -
LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES, une forme unique; il suffit île poser dans le premier cas
fil
dans le second et dans le troisième On a alors
i =- sin 9, s — cos 9, z = tans O.
V(i — jt*; { « — K’.r’) v« — K,sin,9i dx d 9
^(1 — z- 1 ( 1 + K'ar') ^i4-K,COS‘9 >■ . . / K‘ . ,
' r Vi -F K1 4/ 1 — — jjtsin’?,
dx 1/9 </ 9 d 9
■ -+- je-1 )(«-♦- K’ jr* ) C0S9 ^1 -t- K‘ umg‘ 9 vces1? ■+■ K' sio'9 — (i — k')sin‘9
de sorte que la différentielle est ramenée dans tous les cas à la forme unique
do
— c* sin’ 9
Lorsque le multiplicateur du radical dans les formules .précédentes est imaginaire, on doit considérer les différentielles »
dx
dx
dx
^(x‘ — i)(i-f-A’x’j ^(1 4- x’KA’x1 — ij V(x‘ — l)^t~^,x,)
On posera dans le premier cas
dans le second et dans le troisième
1 — c’sin’9 1 —
On aura ainsi
dx 1 1/9
v'^'- •)<« + ***) “ ‘v'TTT ^, j.sinS?’
dx 1 d 9
+ ^ y/, AL siB.?’
— ■ ) ( 1 — k*X *} V* — (“siii'9
72. Le cas où le polynôme R se réduit au troisième degré doit être particulièrement signalé : l’une des racines, d par exemple, doit être alors considérée commit infinie; la seconde des formules (12) montre qu’il en sera de même de I) et les deux autres deviennent
Va ) ■/-*
et enfin ' 1 ] ) devient
ji -y (7^7’y’V
et la formule de transformation est
73. On peut d'ailleurs, dans tous les cas, ramener une difTérentielle dans l’expression de laquelle figure la racine carrée d'un polynôme du quatrième degré à une autre où le radical porte seulement sur un polynôme du troisième. Considérons la différentielle
On a
F [ r v'Tar - a ) ; x — p ) , x — y ) . x — à ) j dx.
yl[x — a)(x— p : x -
Posons
3 — xz , '3 — a’irfi ^ 3 — a
l/lx — aj<x
i>Hx — y)tx — â/
t P- •)’ . /. [?-ÿ-Ky-«}*T [p- j + (i^ô7] (
et l’on voit que la différentielle exprimée par rapport à z ne contient plus sous le radical qu’un polynôme du troisième degré. ».
7-L. L’intégrale générale considérée au § 07 ayant été mise sous la forme
on 7 Çr) désigne une fonction rationnelle, les transformations indiquées (68) et (73
