LIVRE PREMIER. — INTEGRALES DÊEINIES ET INDÉFINIES

pourront s'y appliquer sans que le multiplicateur du radical dans l'expression nouvelle obtenue cesse d’être en fonction rationnelle de la variable.

Examinons donc l’intégrale

Ç 4>(a)«fc

l/A + Bî'4- L j‘

Si la fonction tji (s ) est entière, on peut décomposer cette intégrale en une somme de termes de la forme

I ’ 1" dz

J '^+Tsa + Cj''

Lorsque : est impair, on intégrera en posant z‘ = u ; s'il est pair, eu posant

/* z" il z

J s/ A4l;'HCr

Ou a la formule de réduction, facile à vérifier par la différentiation des deux membres

a**' y A 4- Ba'-t- C*‘ — A(« ■+■ 1) y •;«) + B(n4 a)^(n + 2j + C(» + 3)ç(in-4).

par laquelle toutes les intégrales de la forme y u se ramèneront à

| V ° J A + Bz‘+Cz>’ *ia)

La formule de réduction est applicable lorsque n est négatif, et comme on u

~ J z’ v^A -4- Bæ- -f- Cs‘ J d\ -t- Bj'h- Ci*

les intégrales de la forme

■ • dz

peuvent, quel que soit le nombre entier pair n, être ramenées à la forme (Aj.

75. Lorsque la fonction <p (s) n’est pas entière, on peut se borner à examiner le cas où elle est paire et ne contient que z1. On a eu effet identiquement

et l’on voit que toule fonction est la somme «l’une fonction paire et «l'une fonction impaire; si on les désigne par «j«t(a) et ^,{=) sera égal évidemment à

;«ji3(i), «fi, (s) désignant une fonction «le a*, et l’intégrale

J yf.\ - II;: -f- C;‘

s’obtiendra sous forme finie en posant a2 = u.

La décomposition de la fonction <j/( (a) en fractions simples permettra de remplacer

J «/A + Bj> + CT par une somme de termes de la forme

,/ (a -f-a’pv'A-»- Bi'-eCa1

et l’on aura la formule de réduction aisée à vérifier par la différentiation des deux membres

; yf + Ba’-eCa' (*•*■ i1;"

= C(3 — an)F(n-a) + a(n — i){3C— B;F{«-i)

-«-(an — i)(iBa — A— 3Ca')F{n)-I-3nï(A — Bî4-Ca’)F(n-I-i);

l’emploi de cette formule permettra de ramener toutes les intégrales de la forme F(n)à

F<°>=J^A + BaVcV

F (.)=f- :iV=^’

J (a-i-a’)v'A-t-Bj-4-Ca*

, f dz Ç z'dz

J yA + Ba*+ Ca‘ J VA -t- Ba‘4- ta'

En sorte que toutes les intégrales considérées sont ramenées aux trois formes

il;

r <iz ç zuu f

J VÏ+ Bï*+ ET*’ J \ \ + bz +cz'' J t

{«+ z‘) y A + Bi'-H Ca'

Quelques intégrales qui sc ramènent aux fonctions elliptiques. 70. Soit la différentielle

Ff:r)</.r

\ a \-~bx i CJP* -f- dx* -f CX* -f- bx* H ( i.i"