I - JC
— /<(« — i)(«— ») — — : 4- (arc sinx)".
(arcsinx;’ J '
SI. (/intégration par parties donne aisément les deux intégrales
(a) j e"Qosbxdx, J'r,,sinbxdx.
On a en effet, en remarquant que d'r est la différentielle de ,
/, , e**cosA.r b C . . .
t" cos bx tlx = — n — le"sin bxdx,
C , . , . e"sinix b T , ,
I «“*sm bxdx = lr"cosbxdx,
cl du ces deux équations on déduit
. . it ro*b.r 4 AsmAj-
e"rosij-(/.r -
fi
. , , te sin bx — b cosbx
smhxdx — 1 — - e“'.
Ces formules peuvent d'ailleurs s’obtenir plus directement de la manière suivante : On a évidemment
- , , -■* (fi — h J — i i
' ’dx — = -• -■» V ,
J1 ~~ a + AyCTT “ ' u’-t-fe
niais
— «** ' cos 6a: -+- y — i sin bx ,
cl en égalant les parties réelles et les parties imaginaires des deux membres, ou retrouve les formules précédentes.
82. L'intégration par parties permet de réduire les expressions plus générales
(3) je“cos'bxdx, j sin" bxdx;
elle donne en effet
/e“* COs" bxdx - COS'Ax — -1- / e“cos*-‘fcjrsin6xi/j-.
Une nouvelle intégration par parties donne
f* COS *~'bx sin bxdx = - - COS“* 1 bx sin bx — - J tf* | cos" bx — ( n — i ) cos "~‘bx sin1 bj J dx, cl* en remplaçant sina&r par i — cosafor,
I e** cos"-' bx sin bx dx
= cos"^' bx sin bx — — I *£" cos* bxdx -4- i n — i f t*a cos" *xdx,
et, en substituant dans la première équation,
" cos" 'bx -f* ^ n ! b |c"' eus’ bxdx.
r. . <i Costa: -f- nb sin bx
e"‘ COS" bxdx — ,
LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES. Un calcul tout semblable donnera
r*‘ sin" br tlx
a si n br — nb ros br
’sln*-'/'.r + -'" ' b' fr"sin"-'bxtU-.
L’application répétée de ees formules permettra de réduire l'exposant n à zéro ou à l’unité, et d’effectuer par conséquent l'intégration.
Les deux intégrales (3) pourront d’ailleurs être immédiatement ramenées aux précédentes, en remplaçant cos" b.r et sin* for par leur expression en fonction des sinus et cosinus des multiples de for.
On a par exemple
I <-’sinx</x — - iflsinx — cosx),
r. . . e*'sinx , , , Jf
e*' sin'x rfx = , ! «sinx — a cosx H —, -i
«“'sin’x, fie*'
/* f?* sin5 r
I e*' sin’x rfx = «sinx — 3 cosx) + («sinx — cosx'.*
f* p*1 COSéT
I r*' cos’x tlx = — — («cosx + aslnx) +
/ A -4- rfl»
e”tcosxdx'-r - in cosx -+- sinx).
/* f»** COS* JT wv
I e“ cos'x e/.r = ‘ (a cosx +3 sinx) + r -- (« cosx -4- sinx).
83. Toutes les fois qu’une différentielle contient en facteur l’exponentielle e z, on peut faire porter au choix sur l’autre facteur la différentiation ou l’intégration, de manière à obtenir la réduction la plus avantageuse.
Il est aisé d’intégrer ou de réduire de celte manière les différentielles de la forme
«'Flx' rfr.
où F (x) désigne une fonction rationnelle.
Si d’abord F(x) est une fonction entière, la différentielle se compose d’une somme de termes de la forme
X" r1 tir .
et l’on a
I x“ r* rfx — r' j' — m J x" «■ <l.r ; l'application répétée de celte formule réduira l’intégrale à
j e* tlx — e*.
Si la fonction Ff.r) est fractionnaire, on la décomposera en fractions simples, cl l'intégrale se réduira à une somme de termes de la forme
vf p',/r .
L'intégra lion par parties donne
r tir fi* i Ç e* dx
J (* — *P ~ ~ λ I. r aj'r' + n -1 J (X — a )" - '
et l'application de celte formule nous ramènera à la transcendante
dont l'expression explicite n'est pas connue, mais <|ui elle-même, si l’on pose x — a — z, se réduit î»
ftlze'
J IT- OU encore, en posant e’ = y, à
ft
8V. Les dilTérenlielles de la forme
sin"x c©S*xrfx
peuvent aussi s'intégrer, lorsque les exposants m et n sont entiers, à l'aide de réductions successives. On a, en intégrant par parties.
I siir.r ros’rf/.r
— j'c os“-
x cos.r sin'xf/x
sin“*'x n
cos"'.r-t-
m -4- i ni
I sin" ni ■+■ i i
*'.r roa'-’xd.r :
■.iir‘x = sin-x(i — ros’.r).
et la formule devient
P, , sin—1’ xros— 'x n —
I sln”xcos,x(/x= — 4-
f ra + i m 4-
I sin'xros—’xox — — ■ I sin'xeos-xrfx; ni + il m -h il
en faisant passer le dernier terme du second membre dans le premier, et suppri-
mant le facteur - 1 .il vient enfin
( A ) (m -b il ) j sin’x cos *x</x = sin-4 'x eos*~'x ■+• (n — i) j sin*x cos”~’xf/x.
